segunda-feira, 23 de novembro de 2015

Ângulo interno e externo


Uma amostra de como coisas simples podem ter uma certa dificuldade de definição, um certo risco de produzirem confusão e resultarem em inúmeros desdobramentos.

A partir do pedido da Wikipédia em português e de tradução e ampliações do artigo da Wikipédia em inglês:



Angulo interno e externo - 1.png
gwydir.demon.co.uk
Em geometria, um ângulo de um polígono é formada por dois lados do polígono que partilham um ponto de extremidade. Para um polígono simples (não auto-intersectado), independentemente de que se trata ou não de um polígono convexo, este ângulo é chamado um ângulo interno (ou ângulo interior) se um ponto dentro do ângulo está no interior do polígono. Um polígono tem exatamente um ângulo interno por vértice.

Se todos os ângulos internos de um polígono simples são inferiores a 180°, o polígono é chamado de convexo.


Em contraste, um ângulo externo (ou ângulo exterior) é um ângulo formado por um dos lados de um polígono simples e uma linha estendida de um lado adjacente.[1][2]pgs.261-264  

Editado a partir de www.s-cool.co.uk

  • A soma do ângulo interno e o ângulo externo no mesmo vértice é de 180° (são, pois, ângulos suplementares).[3]
  • A soma de todos os ângulos internos de um polígono simples é de 180(n-2)°, onde n é o número de lados. A fórmula pode ser comprovada utilizando indução matemática e começando com um triângulo para o qual a soma do ângulo é 180° , e em seguida, substituindo um lado com dois lados ligados num vértice, e assim por diante.
  • A soma dos ângulos externos de qualquer polígono simples convexo ou não-convexo é de 360°.




  • A medida do ângulo externo em um vértice que não é afetado por qual lado é prolongado: os dois ângulos externos que podem ser formados em um vértice estendendo alternadamente um lado ou outro são ângulos verticais (no sentido de relacionados ao vértice) e, assim, são iguais.


A suplementaridade dos ângulos interno e externo. Editado a partir de www.technologyuk.net


O conceito de ângulo interior pode ser estendido de uma maneira consistente de polígonos cruzados, como polígonos em estrela usando o conceito de ângulos dirigidos. Em geral, a soma do ângulo interior em graus de qualquer polígono fechado, incluindo aqueles cruzados (com auto-interseção), é então dada por 180(n-2k)° em que n é o número de vértices, e k = 0, 1, 2, 3 ... representa o número de rotações totais de 360° passando em torno do perímetro do polígono. Em outras palavras, 360k° representa a soma de todos os ângulos exteriores. Por exemplo, para polígonos convexos normais e côncavos (não convexo) k = 1, desde que a soma ângulo externo seja de 360°, e um sofra apenas uma revolução completa em torno do perímetro.


Referências

1. Weisstein, Eric W. "Exterior Angle Bisector."  - MathWorld - A Wolfram Web Resource.
2. Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
3. Weisstein, Eric W. "Supplementary Angles."  - MathWorld - A Wolfram Web Resource.


Ligações externas





Apêndices



1
Teorema da inequalidade (desigualdade) do ângulo exterior

A medida de um ângulo exterior de um triângulo é maior que a medida de ambos seus ângulos interiores remotos.

A figure with four points, and three angles highlighted
Para este teorema, tem-se somente duas desigualdades já que se está comparando apenas um ângulo exterior com os dois ângulos remotos do interior de um triângulo.


2
Teorema do ângulo exterior

A medida de um ângulo exterior de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos interiores opostos. - pt.wikipedia.org


www.wyzant.com

sexta-feira, 6 de novembro de 2015

Matemática indiana - 8


Finalmente, também publico o conjunto de referências da série "Matemática indiana".


An Ayurveda mantra inscribed in rocks at Zanskar, India. Photographer unknown.

Um mantra Ayurveda inscrito em rochas em Zanskar, Índia. - asiasociety.org


Livros fonte em sânscrito

  • Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 pages, ISBN 3-7643-7291-5.
  • Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 3-7643-7292-3.
  • Neugebauer, Otto; Pingree (eds.), David (1970), The Pañcasiddhāntikā of Varāhamihira, New edition with translation and commentary, (2 Vols.), Copenhagen.
  • Pingree, David (ed) (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja, edited, translated and commented by D. Pingree, Cambridge, MA: Harvard Oriental Series 48 (2 vols.).
  • Sarma, K. V. (ed) (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Sūryadeva Yajvan, critically edited with Introduction and Appendices, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Sen, S. N.; Bag (eds.), A. K. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava, with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Shukla, K. S. (ed) (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Bhāskara I and Someśvara, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy.
  • Shukla, K. S. (ed) (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with K.V. Sarma, New Delhi: Indian National Science Academy.

Referências

  • Bourbaki, Nicolas (1998), Elements of the History of Mathematics, Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag, 301 pages, ISBN 3-540-64767-8.
  • Boyer, C. B.; Merzback (fwd. by Isaac Asimov), U. C. (1991), History of Mathematics, New York: John Wiley and Sons, 736 pages, ISBN 0-471-54397-7.
  • Bressoud, David (2002), "Was Calculus Invented in India?", The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.) 33(1): 2–13, doi:10.2307/1558972, JSTOR 1558972.
  • Bronkhorst, Johannes (2001), "Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry", Journal of Indian Philosophy,(Springer Netherlands) 29 (1–2): 43–80, doi:10.1023/A:1017506118885.
  • Burnett, Charles (2006), "The Semantics of Indian Numerals in Arabic, Greek and Latin", Journal of Indian Philosophy,(Springer-Netherlands) 34 (1–2): 15–30, doi:10.1007/s10781-005-8153-z.
  • Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An Introduction, The McGraw-Hill Companies, Inc., pp. 193–220.
  • Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 0-471-44459-6.
  • Dani, S. G. (25 July 2003), "Pythogorean Triples in the Sulvasutras" (PDF), Current Science 85 (2): 219–224.
  • Datta, Bibhutibhusan (Dec 1931), "Early Literary Evidence of the Use of the Zero in India", The American Mathematical Monthly 38 (10): 566–572, doi:10.2307/2301384, JSTOR 2301384.
  • Datta, Bibhutibhusan; Singh, Avadesh Narayan (1962), History of Hindu Mathematics : A source book, Bombay: Asia Publishing House.
  • De Young, Gregg (1995), "Euclidean Geometry in the Mathematical Tradition of Islamic India", Historia Mathematica 22(2): 138–153, doi:10.1006/hmat.1995.1014.
  • Encyclopaedia Britannica (Kim Plofker) (2007), "mathematics, South Asian", Encyclopædia Britannica Online: 1–12, retrieved 18 May 2007.
  • Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), "Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature", in Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen et al., History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science), Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages, pp. 137–157, pp. 360–375, ISBN 978-1-4020-2320-0 .
  • Fowler, David (1996), "Binomial Coefficient Function", The American Mathematical Monthly 103 (1): 1–17, doi:10.2307/2975209, JSTOR 2975209.
  • Hayashi, Takao (1995), The Bakhshali Manuscript, An ancient Indian mathematical treatise, Groningen: Egbert Forsten, 596 pages, ISBN 90-6980-087-X.
  • Hayashi, Takao (1997), "Aryabhata's Rule and Table of Sine-Differences", Historia Mathematica 24 (4): 396–406, doi:10.1006/hmat.1997.2160.
  • Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", in Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, pp. 118–130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, ISBN 0-8018-7396-7.
  • Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375, pp. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
  • Henderson, David W. (2000), "Square roots in the Sulba Sutras", in Gorini, Catherine A., Geometry at Work: Papers in Applied Geometry, 53, pp. 39–45, Washington DC: Mathematical Association of America Notes, 236 pages, pp. 39–45, ISBN 0-88385-164-4.
  • Ifrah, Georges (2000), A Universal History of Numbers: From Prehistory to Computers, New York: Wiley, 658 pages, ISBN 0-471-39340-1.
  • Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages, ISBN 0-691-00659-8.
  • Katz, Victor J. (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) 68 (3): 163–174, doi:10.2307/2691411.
  • Katz, Victor J., ed. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385–514, ISBN 0-691-11485-4.
  • Keller, Agathe (2005), "Making diagrams speak, in Bhāskara I's commentary on the Aryabhaṭīya", Historia Mathematica 32 (3): 275–302, doi:10.1016/j.hm.2004.09.001.
  • Kichenassamy, Satynad (2006), "Baudhāyana's rule for the quadrature of the circle", Historia Mathematica 33 (2): 149–183, doi:10.1016/j.hm.2005.05.001.
  • Pingree, David (1971), "On the Greek Origin of the Indian Planetary Model Employing a Double Epicycle", Journal of Historical Astronomy 2 (1): 80–85.
  • Pingree, David (1973), "The Mesopotamian Origin of Early Indian Mathematical Astronomy", Journal of Historical Astronomy 4 (1): 1–12.
  • Pingree, David; Staal, Frits (1988), "Reviewed Work(s): The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science by Frits Staal", Journal of the American Oriental Society 108 (4): 637–638, doi:10.2307/603154, JSTOR 603154.
  • Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis 83 (4): 554–563, doi:10.1086/356288, JSTOR 234257
  • Plofker, Kim (1996), "An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text",Historia Mathematica 23 (3): 246–256, doi:10.1006/hmat.1996.0026.
  • Plofker, Kim (2001), "The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine", Historia Mathematica 28 (4): 283–295, doi:10.1006/hmat.2001.2331.
  • Plofker, K. (2007), "Mathematics of India", in Katz, Victor J., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385–514, pp. 385–514, ISBN 0-691-11485-4.
  • Plofker, Kim (2009), Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE, Princeton, NJ: Princeton University Press. Pp. 384., ISBN 0-691-12067-6.
  • Price, John F. (2000), "Applied geometry of the Sulba Sutras" (PDF), in Gorini, Catherine A., Geometry at Work: Papers in Applied Geometry, 53, pp. 46–58, Washington DC: Mathematical Association of America Notes, 236 pages, pp. 46–58, ISBN 0-88385-164-4.
  • Roy, Ranjan (1990), "Discovery of the Series Formula for  \pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha", Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) 63 (5): 291–306, doi:10.2307/2690896.
  • Singh, A. N. (1936), "On the Use of Series in Hindu Mathematics", Osiris 1 (1): 606–628, doi:10.1086/368443, JSTOR 301627
  • Staal, Frits (1986), The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science, Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde, NS 49, 8. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 40 pages.
  • Staal, Frits (1995), "The Sanskrit of science", Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 23 (1): 73–127, doi:10.1007/BF01062067.
  • Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127, doi:10.1023/A:1004364417713.
  • Staal, Frits (2001), "Squares and oblongs in the Veda", Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 29 (1–2): 256–272, doi:10.1023/A:1017527129520.
  • Staal, Frits (2006), "Artificial Languages Across Sciences and Civilisations", Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 34 (1): 89–141, doi:10.1007/s10781-005-8189-0.
  • Stillwell, John (2004), Berlin and New York: Mathematics and its History (2 ed.), Springer, 568 pages, ISBN 0-387-95336-1.
  • Thibaut, George (1984) [1875], Mathematics in the Making in Ancient India: reprints of 'On the Sulvasutras' and 'Baudhyayana Sulva-sutra', Calcutta and Delhi: K. P. Bagchi and Company (orig. Journal of Asiatic Society of Bengal), 133 pages.
  • van der Waerden, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilisations, Berlin and New York: Springer, 223 pages, ISBN 0-387-12159-5
  • van der Waerden, B. L. (1988), "On the Romaka-Siddhānta", Archive for History of Exact Sciences 38 (1): 1–11, doi:10.1007/BF00329976
  • van der Waerden, B. L. (1988), "Reconstruction of a Greek table of chords", Archive for History of Exact Sciences 38 (1): 23–38, doi:10.1007/BF00329978
  • Van Nooten, B. (1993), "Binary numbers in Indian antiquity", Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 21 (1): 31–50, doi:10.1007/BF01092744
  • Whish, Charles (1835), "On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamála", Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland 3 (3): 509–523, doi:10.1017/S0950473700001221, JSTOR 25581775
  • Yano, Michio (2006), "Oral and Written Transmission of the Exact Sciences in Sanskrit", Journal of Indian Philosophy(Springer Netherlands) 34 (1–2): 143–160, doi:10.1007/s10781-005-8175-6



Ligações externas