Uma amostra de como coisas simples podem ter uma certa dificuldade de definição, um certo risco de produzirem confusão e resultarem em inúmeros desdobramentos.
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Em geometria, um ângulo de um polígono é formada por dois lados do polígono que partilham um ponto de extremidade. Para um polígono simples (não auto-intersectado), independentemente de que se trata ou não de um polígono convexo, este ângulo é chamado um ângulo interno (ou ângulo interior) se um ponto dentro do ângulo está no interior do polígono. Um polígono tem exatamente um ângulo interno por vértice.
Se todos os ângulos internos de um polígono simples são inferiores a 180°, o polígono é chamado de convexo.
Em contraste, um ângulo externo (ou ângulo exterior) é um ângulo formado por um dos lados de um polígono simples e uma linha estendida de um lado adjacente.[1][2]pgs.261-264
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- A soma do ângulo interno e o ângulo externo no mesmo vértice é de 180° (são, pois, ângulos suplementares).[3]
- A soma de todos os ângulos internos de um polígono simples é de 180(n-2)°, onde n é o número de lados. A fórmula pode ser comprovada utilizando indução matemática e começando com um triângulo para o qual a soma do ângulo é 180° , e em seguida, substituindo um lado com dois lados ligados num vértice, e assim por diante.
- A soma dos ângulos externos de qualquer polígono simples convexo ou não-convexo é de 360°.
- A medida do ângulo externo em um vértice que não é afetado por qual lado é prolongado: os dois ângulos externos que podem ser formados em um vértice estendendo alternadamente um lado ou outro são ângulos verticais (no sentido de relacionados ao vértice) e, assim, são iguais.
A suplementaridade dos ângulos interno e externo. Editado a partir de www.technologyuk.net
O conceito de ângulo interior pode ser estendido de uma maneira consistente de polígonos cruzados, como polígonos em estrela usando o conceito de ângulos dirigidos. Em geral, a soma do ângulo interior em graus de qualquer polígono fechado, incluindo aqueles cruzados (com auto-interseção), é então dada por 180(n-2k)° em que n é o número de vértices, e k = 0, 1, 2, 3 ... representa o número de rotações totais de 360° passando em torno do perímetro do polígono. Em outras palavras, 360k° representa a soma de todos os ângulos exteriores. Por exemplo, para polígonos convexos normais e côncavos (não convexo) k = 1, desde que a soma ângulo externo seja de 360°, e um sofra apenas uma revolução completa em torno do perímetro.
Referências
2. Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
Ligações externas
- Interior angle sum of polygons: a general formula - dynamicmathematicslearning.com - Fornece uma atividade interativa em Java que estende a fórmula do ângulo interior para polígonos simples fechados e inclui polígonos cruzados (complexos).
- Interior Angles of Polygons - www.mathsisfun.com
- Sum of Interior Angles of a Polygon - www.regentsprep.org
- Internal Angle Sum of Polygons - www.mathsteacher.com.au
- MathWorld - Exterior Angle
- MathWorld - Exterior Angle Theorem
Apêndices
1
Teorema da inequalidade (desigualdade) do ângulo exterior
A medida de um ângulo exterior de um triângulo é maior que a medida de ambos seus ângulos interiores remotos.
A medida de um ângulo exterior de um triângulo é maior que a medida de ambos seus ângulos interiores remotos.
Para este teorema, tem-se somente duas desigualdades já que se está comparando apenas um ângulo exterior com os dois ângulos remotos do interior de um triângulo.
2
Teorema do ângulo exterior
A medida de um ângulo exterior de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos interiores opostos. - pt.wikipedia.org
A medida de um ângulo exterior de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos interiores opostos. - pt.wikipedia.org
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