Uma reedição e acréscimos do texto "Densidade de um buraco negro" - Scientia est Potentia , de abril de 2013, originalmente uma colaboração de Heraldo Henrique Felix de Moraes.
Ao contrário do que muitos pensam, um buraco negro pode ser pouco denso, apesar de poder ter massa imensa.
Primeiramente, apresentaremos alguns conceitos.
Buracos negros
A previsão teórica da existência de objetos com um campo gravitacional tão intenso que nem a luz pode escapar remonta, surpreendentemente, ao século XVIII, com pensadores como John Michell e Pierre-Simon Laplace. Eles usaram o padrão da física newtoniana — especificamente o conceito de velocidade de escape — para calcular o que hoje chamaríamos de raio de Schwarzschild de um corpo celeste de massa conhecida. Sob esta óptica, a massa concentrada atingiria um ponto onde a velocidade de escape superaria a velocidade da luz (c).
No entanto, essa abordagem newtoniana era apenas uma coincidência matemática e estava conceitualmente incompleta. A descrição física correta e o entendimento da natureza geométrica desses objetos só vieram com as equações da Relatividade Geral (RG) de Albert Einstein. Foi a solução de Karl Schwarzschild para as equações de campo da RG que revelou formalmente a existência de uma região no espaço-tempo – o Horizonte de Eventos – onde o espaço e o tempo se curvam de tal maneira que todas as trajetórias levam inevitavelmente à singularidade central. Portanto, embora objetos ultracompactos surjam no contexto newtoniano, a compreensão de que a gravidade é uma deformação da métrica do espaço-tempo e a dedução da singularidade são exclusivas da teoria de Einstein.
A comprovação indireta de sua existência se consolidou com a observação de efeitos gravitacionais extremos em estrelas e gás orbitando o centro da Via Láctea (Sagitário A*), a detecção das ondas gravitacionais resultantes da fusão de buracos negros (pelo LIGO/Virgo), e a obtenção das imagens da sombra de M87* e Sagitário A* pelo Event Horizon Telescope. Ainda assim, a natureza do interior — especialmente a singularidade e a validade de modelos alternativos como Fuzzballs e Estrelas de Planck — permanece um desafio crucial para a física.
“Uma nova verdade científica não triunfa por convencer os seus opositores e fazer-lhes ver a luz, mas sim porque os opositores acabam por morrer e uma nova geração cresce familiarizada com ela.” - Citado no especial da NatGeo “Gödel - Os Teoremas da incompletude” - nationalgeographic.sapo.pt
O conceito de velocidade de escape
Considere um foguete lançado da Terra para o espaço. Para o foguete livrar-se da atração gravitacional da Terra, ele deve estar se movendo na velocidade de escape (a situação real é um tanto mais complicada que isso, mas simplifiquemos).
Podemos encontrar a velocidade de escape para qualquer objeto de massa m, à distância r de um objeto com maior massa de massa M, definindo a energia cinética do objeto, 1/2 mv², igual à energia potencial do objeto no campo gravitacional do objeto massivo de , GmM / r, onde G é constante gravitacional de Newton.
Algo interessante acontece se considerarmos que o objeto está se movendo a uma velocidade equivalente à velocidade da luz, "c". Encontra-se uma combinação de massa e raio que cria um objeto tão denso a partir do qual nem mesmo a luz pode escapar (horizonte de eventos).
Em 2001, cientistas norte-americanos, Pawel O. Mazur e Emil Mottola, propuseram uma teoria que também retira a noção de "buraco" dos buracos negros, transformando-os em bolhas, ou 'gravastars'.( pt.wikipedia.org - Gravastar )
É interessante também se conhecer as hipóteses das "estrelas negras", “estrelas de Planck” e “fuzzballs”:[Nota 1] ( Scientia - Estrela negra )
Tratamos longamente as acreções de matéria nos corpos celestes em:
Scientia Est Potentia - Das moléculas aos buracos negros
O horizonte de eventos
Para entendermos a questão da densidade que apresentaremos devemos ter em mente o conceito de horizonte de eventos.
O horizonte de eventos é a fronteira teórica ao redor de um buraco negro a partir da qual a força da gravidade é tão intensa que até mesmo luz não pode escapar, pois a sua velocidade é inferior à velocidade de escape do buraco negro.
Ou seja, é apenas uma superfície definida através de cálculos matemáticos, não sendo uma superfície física em si.
pt.wikipedia.org - Horizonte de eventos
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phantasticphysics.wikispaces.com
Em tal região ocorre um paradoxo no qual as leis da física não podem ser diretamente aplicadas uma vez que resultam em absurdos matemáticos e impossibilidades de tratamento por nosso atual desenvolvimento em Física.
Na Teoria da Relatividade, o horizonte de eventos é um termo utilizado para as fronteiras do espaço-tempo, definido de acordo com um ponto observador, de onde os eventos não podem interagir com ele.
A luz emitida de um lado do horizonte nunca chega ao observador, assim como tudo o que o cruza nunca mais é visto.
Ou seja, é a fronteira da qual a luz não consegue escapar à atração gravitacional
Por definição, os horizontes de eventos são invisíveis, ou seja, é impossível captar astronomicamente a sua existência. No entanto, a observação de objetos compactos que atraem gás para as suas superfícies parece ser um bom processo de obter evidências satisfatórias.
A densidade
-dentro do volume definido pelo horizonte de eventos
Buracos negros no geral se formam quanto uma estrela massiva ao fim da vida se torna uma supernova comprimindo uma fração de sua massa no núcleo com energia extremas. Uma estrela não se torna um buraco negro simplesmente diminuindo seu volume.
Ou seja, quando se apresenta em números a densidade de um buraco negro, eles se referem a densidade crítica da matéria pela equação do raio de Schwarschild, mas não se refere ao centro do buraco negro em si, onde temos de levar em conta que as leis da Física deixam de fazer sentido (singularidade).
Um buraco negro é qualquer corpo comprimido ou agregado de modo que seu volume esteja contido dentro de seu raio de Schwarzchild. A fórmula desta variável é:
r = 2*G*m/c²
Expressando a densidade pelo raio:
d=m/V
d=m/((4/3)*pi*r^3)
Considerando que o tal corpo tem momento angular nulo, aplicando o raio de Schwarzschild:
d=m/((4/3)*pi*((2*G*m)/(c^2))^3
d=1/((4/3)*pi*((8*G^3*m^2)/(c^6))
E finalmente:
d=(3*c^6)/(32*pi*G^3*m^2)
Observe-se que esta é uma aproximação, muito ideal, pois desconsidera rotação, o caso mais obviamente comum na natureza, que é o buraco negro de Kerr.[Nota 2]
Ou de maneira “menos Latex”:
Podemos resumir o caminho de equações para chegarmos aqui com:
Ou seja, é inversamente proporcional ao quadrado da massa. Isso significa que objetos leves precisam ser comprimidos até densidades extremas por algum fenômeno altamente energético, enquanto corpos mais massivos podem simplesmente se agregar aos poucos como deve ser o caso dos buracos negros supermassivos que ocupam o centro de galáxias.
Devemos então ter em mente que a densidade de um buraco negro diminui com o quadrado de sua massa. Buracos negros pequenos pouco massivos são extremamente densos, enquanto buracos negros muito massivos são pouco densos.
Omitindo os cálculos, colocaremos apenas os valores:
Um buraco negro com a massa da Terra possui uma densidade de 2,04×10^30 kg/m^3.
Aqui, se um buraco negro dessa massa se forma na natureza não interessa no que pretendemos apresentar.
O volume desse hipotético buraco negro seria de 2,92×10^-6 m^3 (2,92 mL), um volume um pouco maior que a metade de uma colher de chá.
Um buraco negro da massa do Sol já apresenta um densidade de 1,84×10^19 kg/m^3. O volume aqui é de 1,08×10^11 m^3. Esse valor é 100 vezes maior que a densidade média de uma estrela de nêutrons. O volume é de uma esfera de cerca de 3 km de raio.
Novamente, se um buraco negro de massa estelar exige uma massa acima de 3 massas solares para se formar na natureza também não interessa em nossa apresentação.
Densidade de buraco negro estelar
no limite mínimo de 3 massas solares.
Uma observação inicial: “Observações da fusão da estrela de nêutrons GW170817, que se acredita ter gerado um buraco negro logo depois, refinaram a estimativa do limite de TOV [Nota 3] para ~ 2,17 massas solares.” (pt.wikipedia.org - Buraco negro) Mas essa questão por hora desprezaremos, mantendo o limite tradicionalmente usado até então.
m = 3 massas solares =1,989x10^30 kg
Usando a fórmula simplificada pela fração que é constante 2*G/m^2 (pt.wikipedia.org - Raio de Schwarzschild) , temos:
rs = m x 1,48 x 10^-27
rs = (3 x 1,989 x 10^30) x 1,48 x 10^-27
rs = 8831,16 m ⋍ 8,83 km
V = (4/3) x π x (r^3) = (4/3) x π x (8831,16^3) = 2,88 x 10^12 m³ ⋍ 2,88 x 10^18 cm³
d = m/V = 2,88 x 10^18 / ( 3 x 1,989 x 10^30 ) = 2,88 x 10^18 / 5,9 x 10^30 ⋍ 2,07 x 10^18 kg/m³
Observemos que as estrelas de nêutrons apresentam densidade entre 3,7 x 10^17 e 5,9 x 10^17 kg/m³ . (O que é uma estrela de nêutrons? - brasilescola.uol.com.br )
De onde temos que a densidade de um buraco negro em proporção à densidade das estrelas de nêutrons mais densa resulta em:
dbn / den = 2,07 x 10^18 / 5,9 x 10^17 ⋍ 3,5
Onde vemos que a densidade dos buracos negros estelares mais densos (no seu limite mínimo de massa) é 3,5 vezes maior que a densidade das mais densas estrelas de nêutrons.
Buracos negros de massa estelar oriundos de estrelas supermassivas
Já para um buraco negro que se forme a partir da estrela de grande massa R136a1 apresentaria uma densidade de 2,62×10^14 kg/m^3.
O volume desse buraco negro seria de 2,01×10^18 m^3.
Essa é a estrela mais massiva que já detectamos. O resultado é cerca de 10 mil vezes a densidade de uma anã branca. O volume é equivalente a de uma esfera de quase 800 km de raio ou aproximadamente 1,5 vezes o volume de todos os oceanos da Terra.
Como vimos, buracos negros de massa estelar formam-se a partir dos núcleos residuais de estrelas, portanto de uma parte da massa de estrelas, embora existam considerações de casos de colapso integral da massa da estrela, sem as perdas por explosão, mas isso também não interessante no que estamos querendo apresentar, que é a redução de densidade progressiva com o crescimento da massa de um buraco negro.
Buracos negros supermassivos
Sagitário A* (pronuncia-se Sagittarius A-estrela), buraco negro no centro de nossa galáxia, que apresenta densidade aproximada de 10^6 kg/m^3.
pt.wikipedia.org - Sagittarius A*
Com sua massa estimada, ele teria raio de cerca 0,1 u.a., mais exatamente 1,27×10^7 km, um volume de 8,577×10^30 m^3, e uma densidade comparável a do núcleo do Sol (1,6×10^5 kg/m^3). Buracos negros mais massivos seriam ainda maiores e menos densos. Assim, enquanto um buraco negro com a massa da Terra deve ter densidade milhões de vezes maior do que a estimada para uma estrela de nêutrons (10^26 kg/m^3), um buraco negro como o que ocupa o centro de galáxias tem a densidade típica do núcleo de uma estrela.
Já o buraco negro que detectamos no aglomerado NGC 1277 possui cerca de 17 bilhões massas solares e raio de aproximadamente 4 dias-luz. Isso dá uma densidade de 7,25×10^-3 kg/m^3 que é da ordem de 100 mil vezes menor que a da água.
Aqui, apresentemos os cálculos:
Volume=(4/3)*pi*((4*300000000*24*3600)^3)=~4,6684E42 m^3
Densidade=1,989E30*17*1E9/4,6684E42=~0,00724 kg/m^3 ou 7,24x10^-3.
A figura abaixo permite uma noção da dimensão de tal buraco negro:
www.spacedaily.com
Todos esses valores foram calculados usando o WolframAlfa.
Acrescente-se a densidade do buraco negro recentemente descoberto de 40 bilhões de massas solares, e usemos o caso para uma descrição mais detalhada dos cálculos simples envolvidos.
Tendo a fórmula do raio de Schwarzschild:
r=2.G.m/c^2
r=2*6,67*10^-11*m/299792458^2
r=m*1.48*10^-27
r=1,98892*10^30*40*10^9*1,48*10^27
Logo, usando a notação E para notação científica:
r=1,177E14 metros
Obs.:
1,177E14 m ou 1177E11 km ou 117,7 bilhões de km ;
1,177E14/9,46E12 = 0.0118 anos-luz
ou 1,177E14/149,59E9 = 786,81 unidades astronômicas, algo como 25 vezes o raio da órbita de nosso Netuno, para se ter ideia da escala.
Sendo o volume da esfera:
V=(4/3)*pi*r^3
De onde temos:
V=(4/3)*3.14*(1,177E14)^3
V=2,32E43
Banalmente temos a densidade:
d=m/V=1,98892E30*40E9/2,32E43
Chegamos a d=0,0034 kg/m^3 , uma fração pequena da densidade de um gás trivial, lembrando que a densidade do ar gira pelos 1,29 kg/m^3. Ou seja, aproxima-se de um gás bem rarefeito este “volume interno” ao horizonte de eventos.
Alguns comentários
A degeneração da matéria e limites
Para compreendermos mais sobre o termo "densidade" de um Buraco Negro devemos relembrar o conceito do limite de Chandrasekhar .
O Limite de Chandrasekhar representa a máxima massa possível para uma estrela do tipo anã branca (um dos estágios finais das estrelas que consumiram toda a sua energia) suportada pela pressão da degeneração de elétrons, e é aproximadamente 3·10^30 kg, cerca de 1,44 vezes a massa do Sol.
Se uma anã branca (normalmente com cerca de 0,6 vezes a massa do Sol) tiver excedido essa massa por agregação, entrará em colapso, devido ao efeito da gravidade. Pensava-se que este mecanismo daria início a explosões do supernova Tipo Ia, mas esta teoria acabaria por ser abandonada durante a década de 1960. A perspectiva atual é que uma anã branca de oxigênio-carbono atinge uma densidade no seu interior suficiente para iniciar uma reação de fusão nuclear imediatamente antes de atingir o limite de massa. No entanto, quando estrelas com núcleo de ferro ultrapassam esse limite, entram em colapso, e pensa-se que esse processo inicia uma supernova de Tipo Ib, Ic e II, libertando uma quantidade de energia imensa e provocando uma "inundação" de neutrinos.
Resumindo, é o limite de densidade ou raio que uma massa x deve atingir, passando desse limite, o objeto x entrará em colapso por sua própria gravidade.
Sua fórmula é:
pt.wikipedia.org - Limite de Chandrasekhar
O raio de Schwarzschild
O buraco negro de Schwarzschild é caracterizado por uma área ao seu redor chamada de horizonte de eventos, a qual fica situada sobre o comumente chamado de raio do buraco negro. Um corpo massivo sem rotação e sem carga elétrica que tiver seu raio menor que o raio de Schwarzschild necessariamente será um buraco negro. Uma solução para as equações de campo de Einstein devem ser válidas para qualquer corpo de massa , portanto a princípio o buraco negro de Schwarzschild de qualquer massa poderia existir se a natureza fosse competente o suficiente para formar um.
pt.wikipedia.org - Métrica de Schwarzschild
Quando cientistas ou divulgadores mencionam a "densidade" de um buraco negro, eles geralmente se referem à densidade média aparente do objeto, calculada ao dividir a sua massa total (M) pelo volume (V) delimitado pelo Horizonte de Eventos (o raio de Schwarzschild, Rs).
Essa definição é crucial porque o Raio de Schwarzschild (Rs) é diretamente proporcional à massa (), o que leva à conclusão contraintuitiva de que a densidade média de um buraco negro é inversamente proporcional ao quadrado de sua massa (). Buracos negros maiores são, paradoxalmente, menos densos em termos médios.
No entanto, esta densidade aparente não descreve o estado da matéria em seu interior. Toda a massa do buraco negro está, de fato, concentrada em um ponto de volume nulo no centro, conhecido como singularidade. Neste ponto, a densidade é teoricamente infinita, o que é um sinal de que a Relatividade Geral atinge o seu limite e falha.
Ainda não possuímos uma Teoria da Gravidade Quântica completa que possa descrever o que realmente acontece com a matéria nesse ponto de densidade extrema. Portanto, enquanto a densidade aparente (baseada em Rs) nos permite classificar o objeto em relação a outros, a densidade real na singularidade continua sendo um dos maiores mistérios da física contemporânea, onde as leis conhecidas da física se quebram.
Soluções de Schwarshild - www.philosophie.unibe.ch
Observação
A analogia popular do "tecido" ou "lençol" elástico, muito usada para visualizar como a massa deforma o espaço-tempo, é útil para o público em geral, mas é conceitualmente imprecisa. Na realidade da Relatividade Geral de Einstein, o espaço-tempo não é um meio físico ou uma substância maleável que possa ser esticada ou rasgada.
A gravidade é descrita pela forma como a métrica do espaço-tempo é alterada. A métrica, simbolizada por 
, é uma função matemática que define a geometria local e determina a forma como medimos distâncias, tempos e ângulos. Quando um objeto massivo, como um buraco negro, está presente, ele altera essa métrica, o que significa que o espaço e o tempo ao redor dele são intrinsecamente curvos. O que interpretamos como força gravitacional é, na verdade, o movimento de objetos seguindo as trajetórias mais curtas (geodésicas) nesse espaço-tempo curvo.
A expressão "rasgar o tecido do espaço-tempo" é, portanto, uma metáfora simplificada para descrever a extrema deformação da métrica que ocorre perto de uma singularidade, onde a curvatura se torna infinita.
Para mais informações desse conceito e jargão em Física:
Scientia Est Potentia - O "tecido" espaço-tempo
O nome "buraco negro" (em inglês, "black hole") é, de fato, uma descrição vívida, mas tecnicamente imprecisa. O termo foi popularizado pela física americana John Wheeler em 1967, durante uma palestra. Antes disso, esses objetos eram referidos de maneira mais formal e menos evocativa, como estrelas colapsadas gravitacionalmente ou, mais tecnicamente, "singularidades" ou "objetos de congelamento" ("frozen stars"), este último cunhado por pensadores como Robert Oppenheimer e Karl Schwarzschild.
A resistência inicial da comunidade científica vinha do fato de que o nome sugere que o objeto é um "buraco" – ou seja, uma abertura ou falha no espaço – o que reforça a ideia errada do "tecido rasgado" que discutimos anteriormente. Na verdade, ele é o resultado de um colapso estelar, um objeto astrofísico que curva a métrica do espaço-tempo de maneira tão extrema que nada, nem mesmo a luz, pode escapar de seu horizonte de eventos. A sua "negritude" advém apenas da ausência de emissão de luz, não de ser um vácuo ou um vazio. Apesar das reservas iniciais, a simplicidade e força da metáfora de Wheeler garantiram sua permanência e o tornaram o termo universalmente aceito na física e na divulgação científica.
Notas
1.A Estrela Negra é uma solução teórica alternativa ao Buraco Negro que surge da tentativa de conciliar a Relatividade Geral com a Mecânica Quântica. No modelo clássico do Buraco Negro, a gravidade supera todas as forças de repulsão conhecidas, resultando na singularidade – um ponto de densidade infinita no centro. O modelo da Estrela Negra propõe que o Princípio da Incerteza de Heisenberg impede esse colapso final. À medida que a matéria é espremida a um volume extremamente pequeno, a incerteza no momento das partículas aumenta drasticamente, gerando uma pressão repulsiva quântica tão intensa que consegue deter o colapso estelar antes que a densidade infinita seja alcançada.
O resultado é um objeto ultracompacto que possui uma superfície (em vez de uma singularidade) e que é composto por matéria extremamente densa (próxima à Densidade de Planck). A Estrela Negra se comporta de maneira quase idêntica a um Buraco Negro no que diz respeito ao seu campo gravitacional, possuindo um horizonte de eventos do qual a luz não pode escapar. A principal distinção, e a razão de seu estudo, é que ela resolve o problema da singularidade, substituindo-a por um estado de matéria estável e ultradensa onde as leis da física quântica ainda são válidas.
O conceito de Estrela de Planck é uma solução teórica para o problema da singularidade, propondo que o colapso gravitacional de uma estrela é interrompelo por efeitos de Gravidade Quântica no momento em que a matéria atinge a Densidade de Planck (
). Esta é a densidade limite (cerca de 5x10^96 kg/m³) onde as leis da física clássica, incluindo a Relatividade Geral, falham, e os efeitos quânticos da gravidade se tornam dominantes. Em vez de formar um ponto de volume nulo e densidade infinita (a singularidade), a força repulsiva quântica impede o colapso, resultando em um núcleo de matéria extremamente denso com um tamanho do Comprimento de Planck (IP).
Essa estrutura ultradensa se comportaria como um buraco negro clássico, possuindo um horizonte de eventos por um longo período, mas seria, na verdade, um objeto temporário. Uma das ideias centrais do modelo da Estrela de Planck é que, após um tempo de duração finito, o núcleo ricochetearia e explodiria para fora. Essa explosão, embora extremamente lenta e talvez invisível, eliminaria o buraco negro, oferecendo uma possível solução para o Paradoxo da Informação do Buraco Negro, ao garantir que a informação (que é consumida na singularidade dos buracos negros clássicos) possa ser, eventualmente, liberada.
As Fuzzballs (“bolas de pelo”) são uma proposta teórica surgida no contexto da Teoria das Cordas (e M-teoria), visando oferecer a descrição quântica definitiva dos buracos negros e, principalmente, resolver o Paradoxo da Informação de Hawking. Ao contrário da descrição clássica de um buraco negro – que possui um horizonte de eventos, espaço vazio e uma singularidade central – o modelo da Fuzzball postula que o buraco negro é, na verdade, uma estrutura complexa e densa feita de cordas e branas (objetos estendidos da teoria das cordas) emaranhadas, preenchendo toda a região onde o buraco negro existiria, até onde o horizonte de eventos estaria.
O aspecto mais crucial dessa teoria é que as Fuzzballs não possuem singularidade e, fundamentalmente, não possuem horizonte de eventos no sentido tradicional. A superfície física da Fuzzball estaria localizada precisamente onde o horizonte de eventos seria, mas seria uma superfície "difusa" (daí o nome fuzzball, ou "bola de pelo"). Isso significa que não há um ponto de não-retorno ou um interior isolado. Em vez disso, a informação da matéria que "cai" é codificada e preservada nas vibrações complexas dessa estrutura de cordas. Ao ter uma superfície física, a radiação Hawking (que causa a evaporação do buraco negro) pode carregar a informação da matéria original, garantindo que o princípio fundamental da conservação da informação quântica seja mantido.
YouTube - Buraco negro. Qual é a sua verdadeira natureza?
2.Um buraco negro de Kerr é um buraco negro em rotação que possui momento angular, uma das quatro soluções possíveis na teoria da Relatividade Geral. Ele é descrito por sua massa e momento angular. A rotação de um buraco negro de Kerr causa um arrastamento do espaço-tempo ao seu redor, um fenômeno conhecido como efeito Lense-Thirring, e também possui a região da ergosfera, onde objetos e luz são forçados a girar com o buraco negro. — pt.wikipedia.org - Buraco negro em rotação
3.O limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) é a massa máxima que uma estrela de nêutrons pode ter antes de colapsar em um buraco negro. É um limite superior para estrelas de nêutrons não rotativas, e o seu valor exato é ainda um assunto de debate científico, mas estima-se que seja de cerca de 2,1 a 2,2 massas solares. Este limite é uma analogia para o limite de Chandrasekhar em anãs brancas.
— pt.wikipedia.org - Limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
Referências
Astrônomos descobrem buraco negro com massa de 40 bilhões de sóis - olhardigital.com.br
Bombaci, I. «The Maximum Mass of a Neutron Star». Astronomy and Astrophysics. 305: 871–877. Bibcode:1996A&A...305..871B
Lattimer, James M. (2015). "Introduction to neutron stars". American Institute of Physics Conference Series. AIP Conference Proceedings. 1645 (1): 61–78. Bibcode:2015AIPC.1645...61L. doi:10.1063/1.4909560.
Uma listagem de referências úteis em Relatividade Geral e buracos negros:
en.wikipedia.org - Introduction to general relativity
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole
Bernard Schutz - A First Course in General Relativity
Sean Carroll - Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity
Robert Geroch - General Relativity from A to B
Roger Penrose - The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe
Esses livros são introdutórios e cobrem boa parte do exposto anteriormente. Exigem certa bagagem matemática, mas permitem um estudo gradual e qualificado do tema.
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