O Desafio da Evolução: Membros Extras no Design Corporal

 Recentemente escrevi um texto sobre o filme “Jurassic World: Rebirth”.

Nele, abordei a modificação corporal (genética, engenharia genética, mutação ou evolução) que faria com que o número de membros de um tetrápode como dos dinossauros ou os mamíferos passariam a ter seis membros, um hexápode.

Nos artrópodes, a questão sempre foi relativamente simples, uma característica aliás muito simples desse clado de animais.

Mas para os cordados, como escrevi nesse texto, vale essas minhas frases:

“Recentemente, imaginei uma mutação que levaria a um 'quadril duplo' em mamíferos, produzindo um 'hexápode' [...]

[...] A vida, porém, sempre teve graves problemas com modificações corpóreas radicais, preferindo uma paciente 'preguiça' em suaves modificações ao longo de milhares de gerações e milhões de anos.”

Disso seguiu um diálogo com a Gemini da Google, após ela revisar meu texto sobre cinema, que partiu da seguinte pergunta:

Vamos pensar sobre problemas em graves modificações no design corporal, como dois membros a mais?

Ao que ela me respondeu, praticamente um ensaio sobre o tema, cujo título “roubei” para nomear essa ‘blogagem’:

É fascinante pensar em modificações radicais no design corporal, como a adição de dois membros a mais. A biologia especulativa nos permite viajar por esses cenários de "e se...", mas a realidade da evolução é um pouco mais teimosa, como você bem apontou em seu texto.

Quando pensamos em problemas para a adição de dois membros extras (transformando um tetrápode em um hexápode, por exemplo), vêm à mente vários desafios complexos e interligados:

1. Limitações do Plano Corporal Básico (Body Plan)

• Restrição Genética e Desenvolvimental: A maioria dos animais possui um plano corporal básico (ou body plan) que é conservado ao longo de milhões de anos de evolução. A adição de um par extra de membros não é apenas "adicionar um par de pernas". Envolve uma reorganização colossal dos genes HOX (que controlam o desenvolvimento do corpo ao longo do eixo cabeça-cauda), do sistema nervoso, da musculatura, do sistema circulatório e esquelético. Alterações tão fundamentais geralmente resultam em anomalias letais ou inviáveis no desenvolvimento embrionário, não em um organismo funcional.

• "Custo" de Desenvolvimento: Cada estrutura extra exige um gasto energético significativo para ser desenvolvida, mantida e operada. A natureza é conservadora; só investe em algo que traga um benefício adaptativo muito grande.

2. Eficiência Mecânica e Locomoção

• Biomecânica e Centro de Gravidade: Um animal hexápode teria um centro de gravidade e uma distribuição de peso muito diferentes de um tetrápode. Isso exigiria uma remodelação completa da coluna vertebral, da pelve, da cintura escapular e de toda a musculatura associada para permitir uma locomoção eficiente e estável. Os modos de andar teriam de ser reprojetados do zero.

• Controle Neural: Coordenar quatro membros já é complexo. Coordenar seis membros, especialmente se os dois extras estiverem em uma posição incomum, seria um desafio imenso para o sistema nervoso. Exigiria novos centros de controle neural e redes complexas para garantir movimentos sincronizados e eficazes.

3. Pressões Seletivas e Vantagem Adaptativa

• "Por que?": Para que uma modificação tão drástica se estabeleça, ela precisaria conferir uma vantagem adaptativa enorme que compensasse o custo e a dificuldade de sua origem. Se os quatro membros existentes já cumprem bem suas funções (locomoção, manipulação, etc.), qual seria a pressão seletiva para desenvolver mais dois?

• Nichos Ecológicos: Geralmente, a evolução otimiza o que já existe para preencher nichos específicos. É mais provável que um animal otimize seus quatro membros para se tornar mais rápido, mais forte ou melhor em escalar, do que desenvolver dois novos membros do zero, a menos que isso abra um nicho completamente novo e vantajoso (como um segundo par de asas em insetos, por exemplo, mas eles seguem outro plano corporal).

4. História Evolutiva e Contingência

• Caminhos Já Trilhados: Os tetrápodes surgiram de um ancestral com quatro membros. A evolução é, em grande parte, uma série de modificações no que já existe, não um constante "recomeço". Embora a variação aleatória ocorra, as mutações que alteram fundamentalmente o plano corporal são raras e, na maioria das vezes, deletérias. Os insetos são hexápodes, mas desenvolveram seus seis membros a partir de um plano corporal diferente e num ramo da vida muito mais antigo, antes da diversificação dos vertebrados.

• Eventos de Duplicação: Em casos raros, a duplicação de genes HOX ou até de cromossomos inteiros pode levar a novas oportunidades evolutivas. No entanto, mesmo nesses cenários, a expressão desses genes precisa ser precisamente regulada para produzir estruturas funcionais e não monstruosidades inviáveis.

Sua ideia de um "quadril duplo" em mamíferos é um ótimo exemplo de biologia especulativa que explora essas fronteiras. Embora seja muito difícil para a evolução natural adicionar um par de membros totalmente novo e funcional em um tetrápode adulto (sem ser uma duplicação teratológica ou uma malformação), pensar nessas possibilidades nos ajuda a entender melhor os mecanismos e as restrições da própria vida.

É por isso que a "preguiça paciente" da evolução, como você descreveu, geralmente prefere suaves modificações ao longo de milhões de anos, otimizando o plano corporal existente, em vez de reinvenções radicais.

Ligações

Biologia Especulativa  - Meu site de “e se…?” em evolução.

Argumentos e Refutações ao Design Inteligente - 2

 

Os diversos problemas do “Design Inteligente”

O Design Inteligente (DI) emerge como uma corrente de pensamento que busca explicar a complexidade e a aparente finalidade da vida e do universo não por processos naturais e aleatórios, mas sim pela ação de uma inteligência superior ou "projetista". Em sua essência, o DI postula que certas características do universo e dos seres vivos são tão intrincadamente complexas que não poderiam ter surgido por meio da evolução darwiniana, demandando assim uma intervenção intencional. No entanto, este ensaio demonstrará que o Design Inteligente não se sustenta como uma teoria científica e é amplamente refutado pela comunidade científica por diversas razões fundamentais, que vão desde sua falta de base empírica até a solidez das explicações evolutivas.

A Não-Cientificidade do Design Inteligente e sua Agenda Oculta

A crítica mais fundamental ao Design Inteligente reside em sua ausência de rigor científico e sua natureza pseudocientífica, frequentemente mascarando uma agenda religiosa. Ao contrário da ciência, que exige formulação de hipóteses testáveis e evidências verificáveis, o DI não oferece nada que possa ser testado, falseado ou replicado em laboratório. O professor Paulo Nussenzveig, da Rádio USP, destaca que para fazer ciência "não basta reproduzir certos rituais e imitar trejeitos de cientistas. É preciso seguir cuidadosamente os princípios do método científico. Em especial, é preciso começar formulando hipóteses que possam ser testadas de forma criteriosa". O DI falha categoricamente nesse aspecto.

Historicamente, o movimento antievolução, predominante nos EUA, buscou inicialmente banir o ensino da evolução ou exigir que textos religiosos fossem ensinados lado a lado. Após decisões da Suprema Corte dos EUA, que em 1987 declarou a "Ciência da Criação" como posição religiosa, não científica, o Design Inteligente surgiu como uma manobra para contornar as barreiras legais. A ideia era dar uma "roupagem científica" à crença num criador, buscando espaço para "explicações alternativas" à evolução dentro das aulas de ciências. Como aponta Natalia Pasternak, o DI "nunca teve nenhum interesse em fazer pesquisa científica. Foi – e continua sendo – uma jogada política para infiltrar religião nas escolas públicas dos EUA".

A "Estratégia da Cunha" do Discovery Institute, principal centro de promoção do DI, revela que o objetivo primordial é "derrotar o materialismo científico" e suas consequências culturais, buscando minar a base da ciência estabelecida para abrir espaço para uma explicação teísta da vida. Isso demonstra que o Design Inteligente não é uma empreitada de pesquisa científica imparcial, mas sim uma campanha com motivações religiosas e políticas explícitas, que visa deslegitimar a ciência em vez de propor uma teoria alternativa baseada em evidências verificáveis.

A Refutação dos Principais Argumentos do Design Inteligente

Os defensores do Design Inteligente frequentemente se apoiam em argumentos que, sob escrutínio científico, se mostram frágeis ou equivocados.

O argumento mais recorrente é o da "complexidade irredutível". Proposto por Michael Behe, essa ideia postula que certos sistemas biológicos são tão complexos que seriam impossíveis de serem reduzidos a um processo passo-a-passo e, portanto, não poderiam ser produto da seleção natural. Behe usa exemplos como a ratoeira e o flagelo bacteriano para ilustrar que a remoção de qualquer parte inviabilizaria o funcionamento do sistema. No entanto, essa visão "revela uma total incompreensão de como a evolução funciona", conforme Natalia Pasternak. A evolução não é dirigida a uma finalidade específica, e suas partes podem ter outras funções ou ter sido selecionadas por vantagens não relacionadas ao propósito final do sistema. O flagelo bacteriano, por exemplo, demonstrou ser composto por proteínas que já existiam e cumpriam outras funções na célula antes de serem "cooptadas" para formar o flagelo. A evolução, através de mecanismos como a seleção natural, a transferência horizontal de genes e a deriva genética, é capaz de construir complexidade de forma gradual e não linear, utilizando e adaptando componentes pré-existentes. O desafio científico ao DI é claro: se flagelos surgiram por design inteligente, todos os genes envolvidos deveriam ter aparecido simultaneamente na filogenia do grupo; se a evolução está correta, eles surgem em diferentes momentos.

Outro argumento central, especialmente evidente nas proposições de Stephen C. Meyer, é que a "informação especificada" presente na célula só pode ser explicada por uma causa inteligente. Meyer argumenta que, enquanto nenhuma causa material conhecida pode produzir grandes quantidades de informação especificada, causas inteligentes demonstram essa capacidade. No entanto, a premissa de que nenhuma causa material foi descoberta é contestável, e a analogia entre "causas inteligentes que conhecemos" (humanas) e um suposto "designer" cósmico é falha. Como aponta o filósofo Jeffrey Jay Lowder, a hipótese do design "não explica" de fato; ela "não descreve o mecanismo utilizado pelo designer para projetar e construir a coisa". Essa assimetria frustrante exige que os naturalistas forneçam mecanismos detalhados, enquanto os criacionistas podem simplesmente postular um designer sem precisar explicar como ele operou. Sem a elucidação dos mecanismos, a hipótese do design é, no mínimo, incompleta e não é superior à hipótese naturalista de um mecanismo desconhecido.

A Força da Teoria Evolutiva e as Fragilidades do DI

A teoria da evolução, ao contrário do Design Inteligente, está firmemente ancorada em um vasto corpo de evidências de diversas áreas da ciência, incluindo astrofísica, geologia, paleontologia e biologia molecular. Demonstrações como a idade do universo (13,6 bilhões de anos), a idade da Terra (bilhões de anos), a esfericidade do planeta, a formação da vida nos últimos 3,7 bilhões de anos, a descendência comum de todas as espécies, a sequência dos fósseis em estratos geológicos e a existência de múltiplas espécies do gênero Homo são exemplos da robustez da explicação científica.

O Design Inteligente, em contrapartida, "não conseguiu explicar nenhum fato que a teoria da evolução não tenha conseguido explicar". Seus defensores tendem a focar nas "lacunas" do conhecimento científico atual, ignorando áreas bem estudadas e os inúmeros avanços diários da pesquisa evolutiva. Além disso, o DI não levou a um único avanço científico sequer, não propôs novas hipóteses sobre o funcionamento da natureza, nem apresentou novos dados. Sua tese de que a evolução só "destrói" genes, admitindo que adaptações surgem por "quebra" de genes existentes, paradoxalmente, concede espaço ao processo evolutivo.

A falha do DI em ser falseável é outro ponto crítico. A própria natureza apresenta "design não-inteligente" que falseia a hipótese de um designer perfeito. Exemplos incluem o código genético redundante, sequências repetitivas de DNA sem função aparente, seres cegos em cavernas com olhos vestigiais, aves com asas que não voam e ossos de perna vestigiais em baleias. Essas "tolices" na natureza são evidências diretas contra a ideia de um criador infalível.

Mesmo a "origem da vida", frequentemente usada como trincheira pelo DI, tem sido objeto de avanços significativos na ciência desde as primeiras hipóteses de Darwin. A formação espontânea de ácidos nucleicos, aminoácidos e vesículas lipídicas, além da capacidade catalítica e de replicação do RNA, demonstram que a ciência, embora ainda buscando todas as respostas, progrediu imensamente, enquanto o DI não oferece qualquer explicação alternativa.

Conclusão: Distintas Alçadas

A discussão sobre o Design Inteligente ressalta uma assimetria fundamental entre ciência e pseudociência. Enquanto a ciência busca mecanismos e evidências testáveis para explicar o mundo, o DI, embora por vezes defendido por pesquisadores com formação científica, falha em apresentar uma metodologia científica genuína, limitando-se a criticar a evolução sem oferecer alternativas concretas ou passíveis de verificação. Sua rejeição pela comunidade científica e em decisões legais como o Padrão Daubert é um reflexo de sua incompatibilidade com os critérios que definem o conhecimento científico.

É importante reconhecer que ciência e religião operam em alçadas distintas. A ciência se ocupa do mundo físico, das leis naturais e do que pode ser empiricamente testado. A religião, por sua vez, oferece respostas para questões metafísicas, éticas e existenciais que estão além do alcance da investigação científica. A ciência não oferece a verdade última e está sempre em construção, e discussões intelectualmente honestas são bem-vindas. No entanto, a hipótese de um designer sem "deixar qualquer pista" não contribui para o avanço da nossa compreensão da natureza. Em vez de confrontarem-se, ciência e religião podem, e muitas vezes devem, coexistir e até ser parceiras em questões como a ética e a preservação do planeta, mas sem que uma tente se passar pela outra ou usurpar seu domínio de conhecimento.

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"Minha ideia de Design Inteligente é um ser que é inteligente o suficiente para saber que o Design Inteligente não é necessário para sua existência."

Matematiquices - 7

 

Fibonacci na Natureza: O Código Matemático da Vida

Você já parou para observar os padrões ao seu redor? Desde a espiral elegante de uma concha marinha repousando na areia de uma praia de São Paulo até o fascinante arranjo das sementes no centro vibrante de um girassol em um campo ensolarado, a natureza revela uma beleza que, à primeira vista, parece aleatória. Mas e se eu dissesse que por trás de grande parte dessa beleza há um código matemático simples, uma sequência numérica que se repete em inúmeros fenômenos naturais? Estamos falando da Sequência de Fibonacci, um dos padrões mais fascinantes da matemática, que se manifesta de formas surpreendentes no mundo vivo.

1. Desvendando a Sequência de Fibonacci

Essa sequência mágica foi "descoberta" (ou, mais precisamente, popularizada no Ocidente) por um matemático italiano do século XIII chamado Leonardo Fibonacci, ou Leonardo de Pisa. Nascido na Itália, mas educado no norte da África, Fibonacci viajou extensamente e trouxe consigo o sistema de numeração indo-arábico para a Europa. Embora a sequência já fosse conhecida em outras culturas (como a indiana), foi Fibonacci quem a introduziu no Ocidente através de seu livro "Liber Abaci" (O Livro do Ábaco), publicado em 1202.

A regra da sequência é incrivelmente simples: cada número é a soma dos dois anteriores. Ela geralmente começa com 0 e 1:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

O problema original que levou Fibonacci a formular essa sequência envolvia o crescimento de uma população idealizada de coelhos: se você começa com um par de coelhos recém-nascidos que se tornam férteis após um mês, e a cada mês produzem um novo par de coelhos, quantos pares de coelhos você terá após um ano? A resposta, surpreendentemente, segue a sequência.

2. A Magia do Número Áureo (ϕ)

À medida que avançamos na Sequência de Fibonacci, algo ainda mais intrigante acontece. Se você dividir um número da sequência pelo seu antecessor, a razão se aproxima de um valor muito particular: o Número Áureo, representado pela letra grega Phi (ϕ).

Vamos ver alguns exemplos:

• 1/1=1

• 2/1=2

• 3/2=1.5

• 5/3≈1.666...

• 8/5=1.6

• 13/8=1.625

• 21/13≈1.615

• 34/21≈1.619

À medida que os números ficam maiores, essa razão se aproxima cada vez mais de ϕ, que é aproximadamente 1.6180339887...

Matematicamente, ϕ é a solução positiva da equação x2−x−1=0, e seu valor exato é

.

O Número Áureo tem sido considerado por muitos como esteticamente agradável e aparece em diversas áreas, desde a arte e a arquitetura até, como veremos, a natureza.

3. A Natureza Aproxima, Não Atinge a Perfeição

É crucial entender que a presença da Sequência de Fibonacci e da Proporção Áurea na natureza se manifesta como uma tendência e uma aproximação, e não como uma realização matemática perfeita. Conforme exploramos no nosso texto extra, o Número Áureo (ϕ) é um número irracional, o que significa que sua representação decimal é infinita e não repetitiva. Estruturas naturais, sendo entidades físicas e finitas, não podem incorporar um valor infinito com precisão absoluta.

Assim, quando observamos espirais que se assemelham à espiral áurea ou contagens que seguem a Sequência de Fibonacci, estamos testemunhando a natureza "otimizando" seus processos através de proporções que se aproximam desses valores ideais, oferecendo vantagens funcionais.

4. Fibonacci e o Número Áureo na Natureza: Exemplos Vivos

Apesar da ressalva sobre a precisão matemática, a frequência com que a Sequência de Fibonacci e a Proporção Áurea aparecem na natureza é impressionante:

• A Disposição das Folhas (Filotaxia): Observe o caule de uma planta. As folhas frequentemente crescem em espiral ao redor do caule, e o ângulo entre folhas sucessivas é muitas vezes uma fração que envolve números de Fibonacci (como 1/2, 1/3, 2/5, 3/8). Essa disposição otimiza a captura de luz solar para cada folha, minimizando o sombreamento das folhas inferiores pelas superiores. Imagine as diversas plantas que florescem nos parques e jardins de São Paulo, muitas exibindo essa organização eficiente.
  
  

• O Milagre do Girassol: A cabeça de um girassol é um exemplo clássico. As sementes se organizam em dois conjuntos de espirais que giram em sentidos opostos, geralmente com números de espirais que são números consecutivos de Fibonacci (por exemplo, 34 e 55, ou 55 e 89). Essa organização permite o empacotamento mais eficiente do maior número possível de sementes em um espaço limitado.
  
  

• As Conchas e Espirais: A elegante espiral da concha do Nautilus é frequentemente citada como um exemplo da espiral áurea (embora, como apontado por Keith Devlin, seja mais precisamente uma espiral logarítmica com uma taxa de crescimento constante, que pode ser relacionada, mas não é idêntica à espiral definida pela Proporção Áurea). Outras espirais na natureza, como as encontradas em chifres de animais e até na forma de galáxias distantes observadas pelos astrônomos brasileiros, muitas vezes exibem proporções que se aproximam da áurea.
  
  

• Florais e Frutais: O número de pétalas em muitas flores segue números de Fibonacci (lírios têm 3, margaridas geralmente têm 34, 55 ou 89). Da mesma forma, o arranjo das sépalas em algumas frutas como bananas e o padrão das escamas em pinhas também podem exibir sequências de Fibonacci. Observe a diversidade das flores e frutos nos mercados e feiras de São Paulo – muitos deles carregam essa assinatura numérica.
  
  

• Ramos de Árvores: A forma como os galhos de algumas árvores se dividem e crescem pode seguir um padrão onde a cada novo estágio de crescimento, o número de ramos aumenta de acordo com a Sequência de Fibonacci.
  
  

5. Por Que a Natureza "Usa" Fibonacci?

A natureza não "escolhe" conscientemente a Sequência de Fibonacci ou o Número Áureo. Em vez disso, esses padrões emergem como resultado de processos de otimização e restrições físicas. Arranjos baseados nessas proporções tendem a ser eficientes para:

• Otimizar o espaço: Como no caso do empacotamento de sementes no girassol.

• Maximizar a exposição a recursos: Como na disposição das folhas para capturar a luz solar.

• Promover o crescimento uniforme: A espiral logarítmica permite um crescimento com auto-similaridade.

Esses princípios matemáticos oferecem soluções robustas para os desafios de crescimento e sobrevivência no mundo natural.

Conclusão

A Sequência de Fibonacci é muito mais do que uma curiosidade numérica; ela é uma janela para entendermos a linguagem matemática subjacente a muitos dos padrões que observamos na natureza, desde a flora exuberante da Mata Atlântica que cerca São Paulo até a intrincada geometria de uma concha encontrada em nossas praias. Embora a natureza opere através de aproximações e tendências, a frequência com que a Sequência de Fibonacci e o Número Áureo se manifestam é um testemunho da profunda e elegante conexão entre a matemática e a estrutura do mundo natural. Fibonacci nos convida a olhar mais de perto, a reconhecer a ordem sutil na aparente aleat

Extras

Impossibilidade da Natureza Produzir a Proporção Áurea Exata

Pela proporção áurea, se a está para b  como a+b está para a, fazendo a=x e b=1, temos que 

Resolvendo:

Onde temos que a única solução útil é

Assim, temos que ϕ é relacionado à raiz quadrada de 5, então, nos parece simples, verificar que ϕ ser racional ou irracional depende da demonstração de que a raiz quadrada de 5 seja racional ou irracional.

Por Euclides, supomos

como racional, logo, razão de dois inteiros:

, onde a e b são inteiros.

Como b é inteiro:

Assim, c tendo de ser inteiro, leva a

O que levaria a se necessitar de um número infinitamente divisível por 5, o que é absurdo (“decréscimo infinito”). Assim sendo,

não pode ser racional, e consequentemente, ϕ é irracional.

Observação: existe uma demonstração por aritmética modular muito mais curta e elegante, mas julgo a de descenso infinito de Euclides mais facilmente entendível e suficiente para nossos propósitos.

Assim, como um número irracional exige infinitas partições, não poderá ser representado por estrutura natural alguma, que sempre chega a uma unidade mínima, no caso do biológico, a célula, no caso do atômico, como nos minerais - e também destes o biológico, os próprios átomos.

Logo, as sequências de Fibonacci das reproduções celulares, que produzem pentágonos, pentagramas e espirais de proporções áureas são aproximações de ϕ e nunca ϕ propriamente dito. Noutras palavras, as reproduções celulares, produtoras de estruturas pela sequência de Fibonacci tendem a ϕ.

Uma propriedade simples e interessante de ϕ

Temos que ϕ é igual, como vimos, a 

 

Notemos que nisso, já temos 1+x, onde x é essa parte fracionária, o que nos remete, como vimos acima, à proporção que leva a ϕ.

Observemos que o objetivo aqui é se aproveitar a propriedade do “produto notável” que é o produto da soma pela diferença: (a + b)(a - b) = a² - b² 

Conexão com ϕ−1

Quando se escreve na forma decimal esses dois números, a propriedade se torna evidente e diríamos, gritante:

ϕ≈1.6180339887…

ϕ-1​≈0.6180339887…

Essa é uma das propriedades mais elegantes e notáveis do Número Áureo!

Música e a proporção áurea

“A música também tem seus fãs da RA. Entre as muitas alegações estão: que alguns cantos gregorianos são baseados na proporção áurea, que Mozart usou a proporção áurea em algumas de suas músicas e que Bartok usou a Proporção Áurea em algumas de suas músicas. Todas essas alegações carecem de qualquer comprovação concreta. Menos claro é se Debussy usou a Proporção Áurea em algumas de suas músicas. Aqui, os especialistas não concordam se alguns padrões sugestivos da Proporção Áurea que podem ser discernidos são intencionais ou espúrios.” - Keith Devlin, “The myth that will not go away”,  -  MAY 2007 - profkeithdevlin.org 

Não se encontra nas proporções entre frequências e notas na música ocidental relações claras com a proporção áurea, e sim com frações claramente racionais. Com a palavra, o Search Labs da Google:

As proporções entre as frequências das notas em uma escala musical, como a escala diatónica, são determinadas por intervalos e relações matemáticas. A escala diatónica, por exemplo, tem intervalos de tons e semitons entre as notas, e esses intervalos são caracterizados por relações específicas de frequência. 

Relações de Frequência:

• Oitava:
  A razão de frequência entre duas notas com uma oitava de distância é de 2:1. Ou seja, uma nota que está uma oitava acima de outra tem o dobro da frequência. Por exemplo, se o Lá4 (440 Hz) é a nota de referência, o Lá5 (880 Hz) que está uma oitava acima tem o dobro da frequência. 

• Quinta Justa:
  A razão de frequência entre duas notas com uma quinta justa de distância é de 3:2. Uma quinta justa é um intervalo importante na música, e a relação de frequência entre as notas é 3/2 ou 1.5. 

• Quarta Justa:
  A razão de frequência entre duas notas com uma quarta justa de distância é de 4:3. A quarta justa é outro intervalo comum na música, com uma relação de frequência de 4/3, ou aproximadamente 1.333. 

• Terça Maior:
  A razão de frequência entre duas notas com uma terça maior de distância é de 5:4. A terça maior é um intervalo que cria uma sonoridade mais alegre ou maior. 

• Terça Menor:
  A razão de frequência entre duas notas com uma terça menor de distância é de 6:5. A terça menor cria uma sonoridade mais grave ou menor. 

Escala Diatónica:

A escala diatónica, também conhecida como escala maior, é baseada nos intervalos acima e possui uma estrutura específica: 

• Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Dó: A sequência de notas na escala de Dó maior, onde os intervalos são de 2 tons, 2 tons, 1 semitom, 2 tons, 2 tons, 2 tons e 1 semitom, respectivamente.

Equivalência de Frequências:

Em alguns sistemas de afinação, como o temperamento igual, a divisão da oitava em 12 semitons iguais permite que as frequências das notas sejam calculadas matematicamente. Em outras palavras, cada semitom tem uma razão de frequência de aproximadamente 2^(1/12), ou 1.0594631, que é um fator constante. 

Outros Pontos Importantes:

• Entonação Justa:
  A entonação justa se baseia nas relações de frequência simples de razão inteira. 

• Afinação:
  A afinação de um instrumento musical pode afetar as relações de frequência entre as notas. 

• Frequências Padrão:
  A frequência do Lá4 (A4) é padronizada em 440 Hz, sendo a nota de referência para muitos instrumentos musicais. 

• Intervalos e Harmonia:
  Os intervalos entre as notas são a base da harmonia musical.

Leituras recomendadas

Mario Livio; Razão Áurea: A História de FI, o Número Mais Surpreendente do Mundo; Editora Record, 2006.

Mario Livio; Deus é Matemático?; Editora Record, 2010. 

Razão e Proporção - matematicamania.wordpress.com

Um importante conjunto de apontamentos sobre esta questão, de certa maneira, ainda mais destruidores que este meu texto:

Kentaro Mori; “Nature By Numbers”: Fibonacci e a matemática como descrição do mundo

Neste texto, é citado e linkado o excelente: Nature by numbers. The theory behind this movie

E o simplesmente devastador: Donald E. Simanek; Fibonacci Flim-Flam

Texto original nos nossos arquivos:
https://docs.google.com/document/d/1gyochyaWYFZEmZAb7OF8U-DLvCbcb-6HSkcOEgRgjyM/edit?usp=sharing 

E jogando a pá de cal: O Mito que não vai embora - Tradução de artigo do Devlin's Angle, de maio de 2007 , o original em: https://profkeithdevlin.org/devlins-angle/2007-posts/ 

Nossa tradução e o texto original nos nossos arquivos: https://docs.google.com/document/d/1QgfSDktORgMrO8H3U61PSKjXeLF2l9FF9ZKmweBw9LY/edit?usp=sharing 

Vídeos

Vídeo sobre a sequência de Fibonacci e a proporção áurea aproximada na natureza:

Cristóbal Vila - Nature By Numbers 

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