quinta-feira, 13 de agosto de 2015

Matemática indiana - 4



Quarta parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics


Período clássico (400–1600 d.C.)
Este período é muitas vezes conhecido como a “idade de ouro” da matemática indiana. Este período viu matemáticos como Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji dar mais ampla e clara forma a muitos ramos da matemática. Suas contribuições se espalhariam pela Ásia, o Oriente Médio, e, eventualmente, para a Europa. Ao contrário da matemática védica, seus trabalhos incluíram tanto contribuições astronômicos como matemáticas. Na verdade, a matemática desse período foi incluído na "ciência astral” (jyotiḥśāstra) e consistiu em três sub-disciplinas: Ciências matemáticas (gaṇita ou tantra), horóscopo astrológico (horā ou jātaka) e adivinhação (saṃhitā).[46] Essa divisão tripartite é vista na compilação de Varahamihira do século VI — Pancasiddhantika [61] (literalmente panca, "cinco", siddhānta, "conclusão de deliberação", ou mais propriamente, “cinco princípios”, datado de 575 d.C.) — de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta, Vasishtha Siddhanta e Paitamaha Siddhanta, que eram adaptações de obras ainda anteriores da astronomia da Mesopotâmia, gregos, egípcios, romanos e indianos. Como explicado anteriormente, os textos principais foram compostos em versos em sânscrito, e foram seguidos por comentários em prosa.[46]   


Este fac-símile do Pancasiddhantika, mostra graficamente como eclipses devem ser calculados. Este texto prenuncia o que astrônomos ocidentais propuseram quase um milênio depois.  - www.hindubooks.org


Séculos quinto e sexto


Surya Siddhanta
Apesar de sua autoria ser desconhecida, o Surya Siddhanta (c. 400) contém as raízes da trigonometria moderna. Devido a conter muitas palavras de origem estrangeira, alguns autores consideram que ele foi escrito sob a influência da Mesopotâmia e Grécia.[62]

Nota do tradutor: Referências de Surya Siddhanta como contendo raízes da trigonometria:

Zaheer Baber; The Science of Empire: Scientific Knowledge, Civilization, and Colonial Rule in India; SUNY Press, 1996. pg 31.

Dick Teresi; Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science - from the Babylonians to the Maya; Simon and Schuster, 2010. pg 131.
G. H. A. Cole; The Inverted Bowl: Introductory Accounts of the Universe and Its Life; World Scientific, 2010. pg 299.


Este texto antigo usa as seguintes funções trigonométricas pela primeira vez:
  • Seno (Jya).
  • Cosseno (Kojya).
  • Arco seno (Otkram jya).
Também contém os primeiros usos de:
  • Tangente.
  • Secante.
Mais tarde matemáticos indianos como Aryabhata fizeram referências a este texto, enquanto traduções árabes e latino posteriores foram muito influentes na Europa e no Oriente Médio.


Calendário Chhedi
O calendário Chhedi (594) contém um uso precoce do moderno sistema de posição-valor do sistema numérico hindu-arábico agora usado universalmente (ver também algarismos hindu-arábicos).


Aryabhata I
Aryabhata (476-550) escreveu o Aryabhatiya. Ele descreveu os princípios fundamentais importantes da matemática em 332 shlokas. O tratado continha:
  • Equações quadráticas
  • Trigonometria
  • O valor de π, correto até a 4a casa decimal.
Aryabhata também escreveu o Arya Siddhanta, o qual se encontra atualmente perdido. A scontribuições de Aryabhata incluem:
Trigonometria:
  • Introduziu as funções trigonométricas.
  • Definiu o seno (jya) como moderna relação entre a metade de um ângulo e metade de uma corda.
  • Definiu o cosseno (kojya).
  • Definiu o seno verso (utkrama-jya).
  • Definiu o arco seno (seno inverso, otkram jya).
  • Gave methods of calculating their approximate numerical values.
  • Contém as primeiras tabelas de valores de seno, cosseno e seno verso, em intervalos de 3,75° de 0 ° a 90 °, com 4 casas decimais de precisão.
  • Contém a fórmula trigonométrica sen(n + 1)x − sen nx = sen nx − sin(n − 1)x − (1/225)sen nx.
  • Trigonometria esférica.
Aritmética:
  • Frações contínuas.
Álgebra:
  • Soluções de equações quadráticas simultâneas.
  • Soluções de números inteiros de equações lineares por um método equivalente ao método moderno.
  • Solução geral da equação linear indeterminada.
Astronomia matemática:
  • Cálculos precisos para constantes astronômicas, como:
    • Eclipse solar.
    • Eclipse lunar.
    • A fórmula para a soma dos cubos, o que foi um passo importante no desenvolvimento de cálculo integral.[63]   


Varāhamihira

Varāhamihira (505–587) produziu o Pancha Siddhanta (Os Cinco Cânones Astronômicos). Fez importantes contribuições para a trigonometria, incluindo tabelas de seno e cosseno com precisão até 4 casas decimais e as seguintes fórmulas relacionando as funções de seno e cosseno:
  • \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
  • \sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
  • \frac{1-\cos(2x)}{2}=\sin^2(x)


Séculos sétimo e oitavo


O teorema de Brahmagupta estabelece que AF = FD.
No século VII, dois campos separados, aritmética (que incluiu medição) e álgebra, começaram a surgir na matemática indiana. Os dois campos mais tarde seriam chamados pāṭī-gaṇita (literalmente "matemática de algoritmos") e bīja-gaṇita (lit. "matemática de sementes", com "sementes" tendo o sentido de sementes de plantas - representando incógnitas com o potencial de gerar, neste caso, as soluções de equações).[64] Brahmagupta, em seu trabalho astronômico Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 d.C.), incluiu dois capítulos (12 e 18) dedicados a estes campos. O capítulo 12, que contém 66 versos em sânscrito, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, razão e proporção e permutações) e "matemática prática" (incluindo misturas, séries matemáticas, figuras planas, empilhamentos de tijolos, serragem de madeira e grãos).[65] Neste último ponto, ele declarou seu famoso teorema sobre as diagonais de um quadrilátero cíclico:[65]    


Teorema de Brahmagupta: Se um quadrilátero cíclico tem diagonais que são perpendiculares uma a outra, então a linha perpendicular traçada a partir do ponto de interseção das diagonais para qualquer lado do quadrilátero sempre corta o lado oposto.
O capítulo 12 também inclui uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Heron), bem como uma descrição completa dos triângulos racionais (isto é, os triângulos com lados racionais e áreas racionais).
Fórmula de Brahmagupta: A área, A, de um quadrilátero cíclico com lados de comprimentos a, b, c, d, respectivamente, é dada por
A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
onde s, o semiperímetro, é dado por: s=\frac{a+b+c+d}{2}.
Teorema de Brahmagupta sobre triângulos racionais: Um triângulo com lados racionais a, b, c e área racional é da forma:
a = \frac{u^2}{v}+v, \ \ b=\frac{u^2}{w}+w, \ \ c=\frac{u^2}{v}+\frac{u^2}{w} - (v+w)
para números racionais u, v, e w .[66]
O capítulo 18 contém 103 versos em sânscrito os quais iniciam com regras para operações aritméticas envolvendo zero e números negativos e é considerada o primeiro tratamento sistemático do assunto.[65] As regras (que incluíam a + 0 = \ a e a \times 0 = 0 ) estavam todas corretas, com uma exceção: \frac{0}{0} = 0 .[65] Mais adiante, no capítulo, ele apresenta a primeira solução explícita (embora ainda não completamente geral) da equação quadrática:
\ ax^2+bx=c
“Para o número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, adicionar o quadrado do [coeficiente do] termo médio; a raiz quadrada da mesma, menos o [coeficiente do] termo médio, sendo dividido por duas vezes o [do coeficiente] quadrado é o valor.”



Isto é equivalente a:
x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}

Também no capítulo 18, Brahmagupta foi capaz de fazer progressos na busca de soluções (inteiras) da equação de Pell, [67]
\ x^2-Ny^2=1,
onde N é um inteiro não quadrado. Ele fez isso por descobrir a seguinte identidade:[68]

Identidade de Brahmagupta:
\ (x^2-Ny^2)(x'^2-Ny'^2) = (xx'+Nyy')^2 - N(xy'+x'y)^2 a qual é uma generalização de uma identidade mais primordial de Diofante.[68] Brahmagupta usou essa identidade para provar o seguinte lema:[68]
Lema (Brahmagupta): Se x=x_1,\ \ y=y_1 \ \ é uma solução de \ \ x^2 - Ny^2 = k_1, e, x=x_2, \ \ y=y_2 \ \ é uma solução de \ \ x^2 - Ny^2 = k_2, , então:
x=x_1x_2+Ny_1y_2,\ \ y=x_1y_2+x_2y_1 \ \ é uma solução de \ x^2-Ny^2=k_1k_2
Ele então usou esse lema tanto para gerar um número infinito de soluções (inteiras) da equação de Pell, dada uma solução, e declarar o seguinte teorema:
Teorema (Brahmagupta): Se a equação \ x^2 - Ny^2 =k tem uma solução inteira para qualquer um de \ k=\pm 4, \pm 2, -1 entãoa equação de Pell:
\ x^2 -Ny^2 = 1

também tem uma solução inteira.[69]     
Brahmagupta não chegou a provar o teorema, mas trabalhou com exemplos usando seu método. O primeiro exemplo apresentado foi:[68]
Exemplo (Brahmagupta): Encontre inteiros \ x,\ y\ tais que:
\ x^2 - 92y^2=1

Em seu comentário, Brahmagupta adicionou, "uma pessoa solucionando este problema dentro de um ano é um matemático."[68] A solução que ele forneceu foi:
\ x=1151, \ y=120

Bhaskara I
Bhaskara I (c. 600–680) expandiu o trabalho de Aryabhata em seus livros intitulados Mahabhaskariya, Aryabhatiya-bhashya e Laghu-bhaskariya. Ele produziu:
Soluções de equações indeterminadas.
Uma aproximação racional da função seno.
Uma fórmula para o cálculo do seno de um ângulo agudo sem o uso de uma tabela, correta a duas casas decimais.


Séculos nono a duodécimo
Virasena
Virasena (século VIII) foi um matemático Jain na corte de Rashtrakuta, rei Amoghavarsha de Manyakheta, Karnataka. Ele escreveu o Dhavala, um comentário sobre matemática Jain, o qual:
  • Lidou com o conceito de ardhaccheda, o número de vezes que um número poderia ser dividido à metade; efetivamente logaritmos de base 2, e enumera várias regras que envolvem esta operação.[70][71]   
  • Usou pela primeira vez logaritmos de base 3 (trakacheda) e base 4 (caturthacheda).
Virasena também apresentou:
  • A derivação do volume do frustum (tronco de bases paralelas) por uma espécie de procedimento infinito.
Pensa-se que a maior parte do material de matemática no Dhavala pode ser atribuido a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra e Bappadeva e são datados como tendo sido escritos entre 200 e 600 d.C.[71]     
Mahavira
Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka, o último dos notáveis matemáticos Jain, viveu no século IX e foi patrocinado por Rashtrakuta, rei Amoghavarsha. Escreveu um livro chamado Ganit Saar Sangraha em matemática numérica, e também escreveu tratados sobre uma ampla gama de temas matemáticos. Estes incluem a matemática de:
  • Zero
  • Quadrados
  • Cubos
  • Raízes quadradas, raízes cúbicas, e as séries estendendo-se além dessas
  • Geometria plana
  • Geometria sólida
  • Problemas relacionados com a formação de sombras
  • Fórmulas derivadas para calcular a área de uma elipse e quadrilátero dentro de um círculo.
Mahavira também:
  • Afirmou que a raiz quadrada de um número negativo não existia.
  • Apresentou a soma de uma série cujos termos são quadrados de uma progressão aritmética, e deu regras empíricas para a área e o perímetro de uma elipse.
  • Resolveu equações cúbicas.
  • Resolveu equações quárticas.
  • Resolveu algumas quínticas e polinômios de ordens mais altas.
  • Apresentou as soluções gerais das equações polinomiais de ordem mais alta:
    • \ ax^n = q
    • a \frac{x^n - 1}{x - 1} = p
  • Resolveu equações quadráticas indeterminadas.
  • Resolveu equações cúbicas indeterminadas.
  • Resolveu equações indeterminadas de ordem mais alta.
Shridhara
Shridhara (c. 870–930), que viveu em Bengala, escreveu os livros intitulados Nav Shatika, Tri Shatika e Pati Ganita. Ele apresentou:
  • Uma eficiente regra para encontrar-se o volume de uma esfera.
  • A fórmula para resolver-se equações quadráticas.
O Pati Ganita é um trabalho sobre aritmética e medida. Trata-se de várias operações, incluindo:
  • Operações elementares
  • Extração de raízes quadradas e cúbicas.
  • Frações.
  • Oito regras são apresentadas para operações envolvendo zero.
  • Métodos de somatório de diferentes séries aritméticas e geométricas, que viriam a se tornar referências padrão em trabalhos posteriores.
Manjula
As equações diferenciais de Aryabhata foram elaboradas no século X por Manjula (também Munjala), que apresentou a seguinte expressão [72]  
\ \sin w' - \sin w
que pode ser expressa aproximadamente como

\ (w' - w)\cos w
Ele entendeu o conceito de diferenciação depois de resolver a equação diferencial que resultou substituindo esta expressão na equação diferencial de Aryabhata.[72]    
Aryabhata II
Aryabhata II (c. 920–1000) escreveu um comentário sobre Shridhara, e um tratado astronômico, Maha-Siddhanta. O Maha-Siddhanta tem 18 capítulos, e discute:
  • Matemática numérica (Ank Ganit).
  • Álgebra.
  • Soluções de equações indeterminadas (kuttaka).
Shripati
Shripati Mishra (1019–1066) escreveu os livros Siddhanta Shekhara, um grande trabalho sobre astronomia em 19 capítulos, e Ganit Tilaka, um tratado aritmético incompleto em 125 versos baseado em um trabalho de Shridhara. Trabalhou principalmente em:
  • Permutações e combinações.
  • Solução geral da equação linear simultânea indeterminada.
Também foi autor de Dhikotidakarana, um trabalho de vinte versos sobre:
  • Eclipse solar.
  • Eclipse lunar.
O Dhruvamanasa é um trabalho de 105 versos sobre:
  • Cálculo das longitudes planetárias.
  • Eclipses.
  • Trânsitos planetários.


Nemichandra Siddhanta Chakravati
Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) foi autor de um tratado matemático intitulado Gome-mat Saar.
Bhaskara II
Bhāskara II (1114–1185) foi um matemático-astrônomo que escreveu uma série de tratados importantes, a saber, o Siddhanta Shiromani, Lilavati, Bijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam e Karan Kautoohal. Um número significativo de suas contribuições foram posteriormente transmitidas para o Oriente Médio e Europa. Suas contribuições incluem:
Aritmética:
  • Cálculo de juros
  • Progressões aritméticas e geométricas
  • Geometria plana
  • Geometria sólida
  • A sombra do gnômon
  • Soluções de combinações
  • Apresentou uma demonstração para a divisão por zero sendo a infinidade.
Álgebra:
  • O reconhecimento de um número positivo como tendo duas raízes quadradas.
  • Raízes n-ésimas.
  • As operações com produtos de várias incógnitas.
  • As soluções de:
    • Equações quadráticas.
    • Equações cúbicas.
    • Equações quárticas.
    • Equações com mais de uma incógnita.
    • Equações quadráticas com mais de uma incógnita.
    • A forma geral da equação de Pell usando o método chakravala.
    • A equação quadrática indeterminada geral  usando o método chakravala.
    • Equações cúbicas indeterminadas.
    • Equações quárticas indeterminadas.
    • Equações polinomiais de ordem mais alta indeterminadas.
Geometria:
  • Apresentou uma demonstração do teorema de Pitágoras.
Cálculo:
  • Concebeu o cálculo diferencial.
  • Descobriu a derivada.
  • Descobriu o coeficiente diferencial.
  • Desenvolveu a diferenciação.
  • Estabeleceu o teorema de Rolle, um caso especial do teorema do valor médio (um dos teoremas mais importantes em cálculo e análise).
  • Derivou a diferencial da função seno.
  • Calculou π, correto até cinco casas decimais.
  • Calculou o comprimento da revolução da Terra ao redor do Sol até 9 casas decimais.
Trigonometria:
  • Desenolvimentos de trigonometroa esférica.
  • As fórmulas trigonométricas:
    • \ \sin(a+b)=\sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)
    • \ \sin(a-b)=\sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)



Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8



Leituras recomendadas

Miscellaneous Essays, Volume 2; Henry Thomas Colebrooke, Wm. H. Allen, 1837 -

Asiatick Researches; Or, Transactions, Volume 2; Asiatic Society (Calcutta, India), 1807 -

Asiatic Researches; Or, Transactions of the Society, Instituted in Bengal,: For Inquiring Into the History and Antiquities, the Arts, Sciences, and Literature, of Asia. ... Printed Verbatim from the Calcutta Edition..; Asiatic Society of Bengal; J. Sewell; Vernor and Hood; J. Cuthell; J. Walker; R. Lea; Lackington, Allen, and Company; Otridge and son; R. Faulder; and J. Scatcherd., 1808 - books.google.com.br
Ravi Agarwal, Syamal Sen; Creators of Mathematical and Computational Sciences; Springer, 2014 - books.google.com.br
Asiatick Researches, Or, Transactions of the Society Instituted in Bengal, for Inquiring Into the History and Antiquities, the Arts, Sciences, and Literature, of Asia, Volume 2; J. Swan and Company, 1801 - books.google.com.br

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segunda-feira, 10 de agosto de 2015

Matemática indiana - 3



Terceira parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics


A tradição escrita:
o comentário em prosa
Com a crescente complexidade da matemática e outras ciências exatas, tanto escrita e cálculo foram exigidos. Consequentemente, muitos trabalhos matemáticos começaram a ser escritos em manuscritos que foram, em seguida, copiados e re-copiados de geração em geração.
"Na Índia hoje esatima-se ter cerca de trinta milhões de manuscritos, o maior corpo de material de leitura, escrita à mão em qualquer lugar do mundo. A cultura letrada da ciência indiana remonta pelo menos ao século V a.C. ... como é demonstrado pelos elementos da literatura profética e astronomia da Mesopotâmia que entraram na Índia naquela época e (foram) definitivamente não ... preservados oralmente."[44]  
Versão do Āryabhaṭīya , versão impressa em 1874. - openlibrary.org
O mais antigo comentário em prosa matemática foi no trabalho Āryabhaṭīya (escrito em 499 d.C.), sobre astronomia e matemática. A parte matemática do Āryabhaṭīya foi composto de 33 sūtras (em forma de verso) que consistem em declarações matemáticas ou regras, mas sem quaisquer demonstrações.[45] No entanto, de acordo com (Hayashi 2003, p. 123), "isto não significa, necessariamente, que seus autores não os demonstraram. Foi provavelmente uma questão de estilo de exposição". A partir do período de Bhaskara I (600 d.C. em diante), comentários de prosa cada vez mais começaran a incluir algumas derivações (upapatti). O comentário de Bhaskara I, na Āryabhaṭīya, tinha a seguinte estrutura:


  • Regra ('sūtra') em verso pelo Āryabhaṭa.
  • Comentário por Bhāskara I, consistindo de:
    • Elucidação da regra (derivações ainda eram raras na época, mas se tornaram mais comuns depois)
    • Exemple (uddeśaka) usualmente em verso.
    • Colocação (inserção) (nyāsa/sthāpanā) dos dados numéricos.
    • Trabalho (desenvolvimento) (karana) da solução.
    • Verificação (pratyayakaraṇa, literalmente "produzir convicção") da resposta. Este passo tornou-se raro pelo século XIII, derivações ou demonstrações sendo por eles favorecidas.[45]

Tipicamente, para qualquer tópico matemático, os estudantes na Índia antiga primeiro memorizavam os sūtras, que, como explicado anteriormente, foram "deliberadamente inadequados"[44] em detalhes explicativos (de maneira a transmitir sucintamente as regras matemáticas estruturais do argumento). Os alunos, em seguida, trabalhavam com os temas do comentário em prosa por escrito (e desenhavam diagramas) sobre lousas cobertas de argila fina ou material similar (ou seja, placas cobertas com pó). Esta última atividade, uma parte importante do trabalho matemático, foi mais tarde a base sobre a qual o matemático-astrônomo Brahmagupta (fl século VII d.C.), caracterizou cálculos astronômicos como "trabalho em pó" (sânscrito: dhulikarman).[46]  



Representação de Bhaskara I (550-628 d.C.) - www.indianetzone.com



Numerais
e o sistema de numeração decimal
É bem conhecido que o sistema numérico de posição decimal em uso hoje foi registrado pela primeira vez na Índia, em seguida, transmitido para o mundo islâmico, e, eventualmente, para a Europa.[47] O bispo sírio Severus Sebokht escreveu em meados do século VII d.C. sobre os "nove sinais" dos índianos para expressar números.[47] No entanto, como, quando e onde o primeiro sistema de valores de casas decimais foi inventado não é tão claro.[48]  
O primeiro sistema de escrita existente utilizado na Índia foi o sistema Kharoṣṭhī utilizado na cultura Gandhara do noroeste. Acredita-se que ele seja de origem aramaica e esteve em uso a partir do quarto século a.C. até século IV d.C.. Quase simultaneamente, um outro sistema de escrita, o sistema Brāhmī, apareceu em grande parte do sub-continente, e mais tarde se tornaria a base de muitos sistemas do sul da Ásia e Sudeste Asiático. Ambos os sistemas tinham símbolos numéricos e sistemas numerais, os quais não foram inicialmente baseados em um sistema de valor local.[49]
Os primeiros indícios sobreviventes de  sistema numérico de posição decimal na Índia e sudeste da Ásia são a partir da metade meio do primeiro milênio d.C..[50] A placa de cobre de Gujarat, na Índia, menciona a data de 595 d.C., escrita em uma notação casa de valor decimal, embora haja algumas dúvidas quanto à autenticidade da placa.[50] Números decimais de gravação dos anos 683 d.C., também foram encontrados em inscrições em pedra na Indonésia e Camboja, onde a influência cultural indiana foi substancial.[50]    
Um exemplar de placa de cobre indiana, de Gujarat do período, no caso, datada de 681 d.C.. - www.melikiancollection.com

Existem fontes textuais mais velhas, embora as cópias manuscritas existentes destes textos são de datas muito posteriores.[51] Provavelmente a mais antiga dessas fontes é a obra do filósofo budista Vasumitra datado provavelmente do século I d.C..[51] Discutindo a contagem de poços de comerciantes, observações de Vasumitra: "Quando [a mesmo] argila peça de contagem está no lugar de unidades, é denotada como um, quando em centenas, cem."[51] Embora essas referências pareçam implicar que os seus leitores tinham conhecimento de uma representação de valor decimal, a "brevidade de suas alusões e a ambigüidade de suas datas, no entanto, não estabelecem solidamente a cronologia do desenvolvimento deste conceito."[51]    
Uma terceira representação decimal foi empregada em uma técnica de composição de versos, mais tarde chamada Bhuta-sankhya (literalmente, "números objeto") usada inicialmente ​​por autores de livros técnicos em sânscrito.[52] Uma vez que muitos trabalhos técnicos iniciais foram compostos em verso, os números eram muitas vezes representados por objetos no mundo natural ou religioso que correspondiam a eles; isso permitiu uma correspondência de muitos-para-um para cada número e composição de versos facilitada.[52] De acordo com (Plofker, 2009), o número 4, por exemplo, poderia ser representado pela palavra "Veda" (uma vez que havia quatro destes textos religiosos), o número 32 pela palavra "dentes" (uma vez que um conjunto completo de dentes consiste de 32), e o número 1 pela "lua" (uma vez que existe apenas uma lua).[52] Assim, Veda / dentes / lua corresponderia ao numeral decimal 1324, como a convenção para números era enumerar seus dígitos da direita para a esquerda.[52] A mais antiga referência empregando números de objeto é um texto sânscrito de ca. 269 ​​d.C., Yavanajātaka (literalmente "horóscopos gregos") de Sphujidhvaja, uma versificação de uma adaptação em prosa indiana anterior (ca. 150 d.C.) de uma obra perdida da astrologia helênica.[53] Tal uso parece assegurar que por meados do século III d.C., o sistema de valores de casa decimal era familiar, pelo menos para os leitores de textos astronômicos e astrológicos na Índia.[52]   
Postula-se que o sistema indiano de casa de valor decimal baseou-se nos símbolos usados em placas de contagem chinesas já a partir de meados do primeiro milênio a.C..[54] De acordo com (Plofker 2009),  
Estas placas de contagem, como os poços (depressões) de contagem indianos, ..., tinham uma estrutura de valor de casa decimal ... indianos podem muito bem ter aprendido esses valores decimais de "varetas numerais" de peregrinos budistas chineses ou outros viajantes, ou eles podem ter desenvolvido o conceito de forma independente a partir de seu sistema anterior não-lugar-valor; nenhuma prova documental sobrevive para confirmar ou concluor-se."[54]   


Manuscrito Bakhshali
O mais antigo manuscrito matemático existente no Sul da Ásia é o Manuscrito Bakhshali, uma casca de bétula manuscrita escrita em "sânscrito budista híbrido"[12], no sistema de escrita Śāradā, o qual foi utilizado na região noroeste do subcontinente indiano entre os séculos VIII e XII d.C..[55] O manuscrito foi descoberto em 1881 por um agricultor ao escavar em um recinto de pedra na aldeia de Bakhshali, perto de Peshawar (então na Índia britânica e agora no Paquistão). De autoria desconhecida e preservado atualmente na Biblioteca Bodleian, na universidade de Oxford, o manuscrito foi por diversas vezes datadoi como sendo tão antigo como os "primeiros séculos da era cristã" [56] e tão posterior quanto entre os os séculos IX e XII d.C..[57] O século VII d.C é considerado agora uma data plausível, [58] embora com a possibilidade de que o "manuscrito em sua forma atual constitui um comentário ou uma cópia de um trabalho matemático anterior."[59]   
Fragmento do Manuscrito Bakhshali. - treasures.bodleian.ox.ac.uk


O manuscrito sobrevivente tem setenta folhas, algumas das quais estão em fragmentos. Seu conteúdo matemático consiste em regras e exemplos, escritos em versos, juntamente com comentários em prosa, que incluem soluções para os exemplos.[55] Os temas tratados incluem aritmética (frações, raízes quadradas, lucros e perdas, juros simples, a regra de três e regula falsi) e álgebra (equações lineares simultânea e equações de segundo grau), e progressões aritméticas. Além disso, há um pequeno número de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valores de casa decimal com um ponto para zero."[55] Muitos de seus problemas são de uma categoria conhecida como "problemas de compensação» que levam a sistemas de equações lineares. Um exemplo do Fragmento III-5-3v é o seguinte:   
"Um comerciante tem sete cavalos asava, um segundo tem nove cavalos haya, e um terceiro tem dez camelos. Eles são igualmente afortunados no valor dos animais se cada dá dois animais, um para cada um dos outros. Encontre o preço de cada animal e o valor total para os animais possuídos por cada comerciante."[60]   
O comentário em prosa que acompanha o exemplo resolve o problema, convertendo três equações (sub-determinadas) em quatro incógnitas e assumindo que os preços são todos inteiros.[60]   


Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8

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