Terceira parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics
A tradição escrita:
o comentário em prosa
o comentário em prosa
Com a crescente complexidade da matemática e outras ciências exatas, tanto escrita e cálculo foram exigidos. Consequentemente, muitos trabalhos matemáticos começaram a ser escritos em manuscritos que foram, em seguida, copiados e re-copiados de geração em geração.
"Na Índia hoje esatima-se ter cerca de trinta milhões de manuscritos, o maior corpo de material de leitura, escrita à mão em qualquer lugar do mundo. A cultura letrada da ciência indiana remonta pelo menos ao século V a.C. ... como é demonstrado pelos elementos da literatura profética e astronomia da Mesopotâmia que entraram na Índia naquela época e (foram) definitivamente não ... preservados oralmente."[44]
O mais antigo comentário em prosa matemática foi no trabalho Āryabhaṭīya (escrito em 499 d.C.), sobre astronomia e matemática. A parte matemática do Āryabhaṭīya foi composto de 33 sūtras (em forma de verso) que consistem em declarações matemáticas ou regras, mas sem quaisquer demonstrações.[45] No entanto, de acordo com (Hayashi 2003, p. 123), "isto não significa, necessariamente, que seus autores não os demonstraram. Foi provavelmente uma questão de estilo de exposição". A partir do período de Bhaskara I (600 d.C. em diante), comentários de prosa cada vez mais começaran a incluir algumas derivações (upapatti). O comentário de Bhaskara I, na Āryabhaṭīya, tinha a seguinte estrutura:
- Regra ('sūtra') em verso pelo Āryabhaṭa.
- Comentário por Bhāskara I, consistindo de:
- Elucidação da regra (derivações ainda eram raras na época, mas se tornaram mais comuns depois)
- Exemple (uddeśaka) usualmente em verso.
- Colocação (inserção) (nyāsa/sthāpanā) dos dados numéricos.
- Trabalho (desenvolvimento) (karana) da solução.
- Verificação (pratyayakaraṇa, literalmente "produzir convicção") da resposta. Este passo tornou-se raro pelo século XIII, derivações ou demonstrações sendo por eles favorecidas.[45]
Tipicamente, para qualquer tópico matemático, os estudantes na Índia antiga primeiro memorizavam os sūtras, que, como explicado anteriormente, foram "deliberadamente inadequados"[44] em detalhes explicativos (de maneira a transmitir sucintamente as regras matemáticas estruturais do argumento). Os alunos, em seguida, trabalhavam com os temas do comentário em prosa por escrito (e desenhavam diagramas) sobre lousas cobertas de argila fina ou material similar (ou seja, placas cobertas com pó). Esta última atividade, uma parte importante do trabalho matemático, foi mais tarde a base sobre a qual o matemático-astrônomo Brahmagupta (fl século VII d.C.), caracterizou cálculos astronômicos como "trabalho em pó" (sânscrito: dhulikarman).[46]
Numerais
e o sistema de numeração decimal
É bem conhecido que o sistema numérico de posição decimal em uso hoje foi registrado pela primeira vez na Índia, em seguida, transmitido para o mundo islâmico, e, eventualmente, para a Europa.[47] O bispo sírio Severus Sebokht escreveu em meados do século VII d.C. sobre os "nove sinais" dos índianos para expressar números.[47] No entanto, como, quando e onde o primeiro sistema de valores de casas decimais foi inventado não é tão claro.[48]
O primeiro sistema de escrita existente utilizado na Índia foi o sistema Kharoṣṭhī utilizado na cultura Gandhara do noroeste. Acredita-se que ele seja de origem aramaica e esteve em uso a partir do quarto século a.C. até século IV d.C.. Quase simultaneamente, um outro sistema de escrita, o sistema Brāhmī, apareceu em grande parte do sub-continente, e mais tarde se tornaria a base de muitos sistemas do sul da Ásia e Sudeste Asiático. Ambos os sistemas tinham símbolos numéricos e sistemas numerais, os quais não foram inicialmente baseados em um sistema de valor local.[49]
Os primeiros indícios sobreviventes de sistema numérico de posição decimal na Índia e sudeste da Ásia são a partir da metade meio do primeiro milênio d.C..[50] A placa de cobre de Gujarat, na Índia, menciona a data de 595 d.C., escrita em uma notação casa de valor decimal, embora haja algumas dúvidas quanto à autenticidade da placa.[50] Números decimais de gravação dos anos 683 d.C., também foram encontrados em inscrições em pedra na Indonésia e Camboja, onde a influência cultural indiana foi substancial.[50]
Um exemplar de placa de cobre indiana, de Gujarat do período, no caso, datada de 681 d.C.. - www.melikiancollection.com
Existem fontes textuais mais velhas, embora as cópias manuscritas existentes destes textos são de datas muito posteriores.[51] Provavelmente a mais antiga dessas fontes é a obra do filósofo budista Vasumitra datado provavelmente do século I d.C..[51] Discutindo a contagem de poços de comerciantes, observações de Vasumitra: "Quando [a mesmo] argila peça de contagem está no lugar de unidades, é denotada como um, quando em centenas, cem."[51] Embora essas referências pareçam implicar que os seus leitores tinham conhecimento de uma representação de valor decimal, a "brevidade de suas alusões e a ambigüidade de suas datas, no entanto, não estabelecem solidamente a cronologia do desenvolvimento deste conceito."[51]
Uma terceira representação decimal foi empregada em uma técnica de composição de versos, mais tarde chamada Bhuta-sankhya (literalmente, "números objeto") usada inicialmente por autores de livros técnicos em sânscrito.[52] Uma vez que muitos trabalhos técnicos iniciais foram compostos em verso, os números eram muitas vezes representados por objetos no mundo natural ou religioso que correspondiam a eles; isso permitiu uma correspondência de muitos-para-um para cada número e composição de versos facilitada.[52] De acordo com (Plofker, 2009), o número 4, por exemplo, poderia ser representado pela palavra "Veda" (uma vez que havia quatro destes textos religiosos), o número 32 pela palavra "dentes" (uma vez que um conjunto completo de dentes consiste de 32), e o número 1 pela "lua" (uma vez que existe apenas uma lua).[52] Assim, Veda / dentes / lua corresponderia ao numeral decimal 1324, como a convenção para números era enumerar seus dígitos da direita para a esquerda.[52] A mais antiga referência empregando números de objeto é um texto sânscrito de ca. 269 d.C., Yavanajātaka (literalmente "horóscopos gregos") de Sphujidhvaja, uma versificação de uma adaptação em prosa indiana anterior (ca. 150 d.C.) de uma obra perdida da astrologia helênica.[53] Tal uso parece assegurar que por meados do século III d.C., o sistema de valores de casa decimal era familiar, pelo menos para os leitores de textos astronômicos e astrológicos na Índia.[52]
Postula-se que o sistema indiano de casa de valor decimal baseou-se nos símbolos usados em placas de contagem chinesas já a partir de meados do primeiro milênio a.C..[54] De acordo com (Plofker 2009),
Estas placas de contagem, como os poços (depressões) de contagem indianos, ..., tinham uma estrutura de valor de casa decimal ... indianos podem muito bem ter aprendido esses valores decimais de "varetas numerais" de peregrinos budistas chineses ou outros viajantes, ou eles podem ter desenvolvido o conceito de forma independente a partir de seu sistema anterior não-lugar-valor; nenhuma prova documental sobrevive para confirmar ou concluor-se."[54]
Manuscrito Bakhshali
O mais antigo manuscrito matemático existente no Sul da Ásia é o Manuscrito Bakhshali, uma casca de bétula manuscrita escrita em "sânscrito budista híbrido"[12], no sistema de escrita Śāradā, o qual foi utilizado na região noroeste do subcontinente indiano entre os séculos VIII e XII d.C..[55] O manuscrito foi descoberto em 1881 por um agricultor ao escavar em um recinto de pedra na aldeia de Bakhshali, perto de Peshawar (então na Índia britânica e agora no Paquistão). De autoria desconhecida e preservado atualmente na Biblioteca Bodleian, na universidade de Oxford, o manuscrito foi por diversas vezes datadoi como sendo tão antigo como os "primeiros séculos da era cristã" [56] e tão posterior quanto entre os os séculos IX e XII d.C..[57] O século VII d.C é considerado agora uma data plausível, [58] embora com a possibilidade de que o "manuscrito em sua forma atual constitui um comentário ou uma cópia de um trabalho matemático anterior."[59]
Fragmento do Manuscrito Bakhshali. - treasures.bodleian.ox.ac.uk
O manuscrito sobrevivente tem setenta folhas, algumas das quais estão em fragmentos. Seu conteúdo matemático consiste em regras e exemplos, escritos em versos, juntamente com comentários em prosa, que incluem soluções para os exemplos.[55] Os temas tratados incluem aritmética (frações, raízes quadradas, lucros e perdas, juros simples, a regra de três e regula falsi) e álgebra (equações lineares simultânea e equações de segundo grau), e progressões aritméticas. Além disso, há um pequeno número de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valores de casa decimal com um ponto para zero."[55] Muitos de seus problemas são de uma categoria conhecida como "problemas de compensação» que levam a sistemas de equações lineares. Um exemplo do Fragmento III-5-3v é o seguinte:
"Um comerciante tem sete cavalos asava, um segundo tem nove cavalos haya, e um terceiro tem dez camelos. Eles são igualmente afortunados no valor dos animais se cada dá dois animais, um para cada um dos outros. Encontre o preço de cada animal e o valor total para os animais possuídos por cada comerciante."[60]
O comentário em prosa que acompanha o exemplo resolve o problema, convertendo três equações (sub-determinadas) em quatro incógnitas e assumindo que os preços são todos inteiros.[60]
Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8
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