Matemática indiana - 2

Segunda parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics

Matemática Jain (400 a.C - 200 d.C)

Embora o Jainismo como uma religião e filosofia antecede o seu mais famoso expoente, o grande Mahavira (século VI a.C.), a maioria dos textos Jain sobre temas matemáticos foram feitos após o século VI a.C.. Matemáticos Jain são importantes historicamente como ligações cruciais entre a matemática do período védico e aqueles do "período clássico".

Pintura tântrica jainista. - www.jainpedia.org

A contribuição histórica significativa dos matemáticos Jain estava em sua libertarem a matemática indiana de suas restrições religiosas e rituais. Em particular, o seu fascínio com a enumeração dos números muito grandes e infinitos os levou a classificar os números em três classes: enumeráveis, inumeráveis e infinitos. Não contentes com uma simples noção de infinito, passaram a definir cinco diferentes tipos de infinito: o infinito em uma direção, o infinito em duas direções, o infinito na área, o infinito em todos os lugares, e o infinito perpetuamente. Além disso, os matemáticos Jain conceberam notações para potências simples (e expoentes) de números como quadrados e cubos, o que lhes permitiu definir equações algébricas simples (beejganita samikaran). Matemáticos Jain foram, aparentemente, também os primeiros a usar a palavra shunya (literalmente “vazio” em sânscrito) para se referir a zero. Mais de um milênio depois, sua denominação tornou-se o Inglês palavra "zero" depois de uma viagem tortuosa de traduções e transliterações da Índia para a Europa. (Veja Zero: Etimologia.)   

Em adição a Surya Prajnapti, importante trabalhos Jain na matemática incluiram a Vaishali Ganit (c. terceiro século a.C.); o Sthananga Sutra (fl. 300 a.C. - 200 d.C.); o Anoyogdwar Sutra (fl. 200 a.C. - 100 d.C.); e o Satkhandagama (c. século II d.C.). Importantes matemáticos Jain incluiram Bhadrabahu, o autor de duas obras astronômicas, o Bhadrabahavi-Samhita e um comentário sobre a Surya Prajinapti (d. 298 a.C.); Yativrisham Acharya (c 176 a.C.), autor de um texto matemático chamado Tiloyapannati; e Umasvati (c. 150 a.C.), que, embora mais conhecido por seus escritos influentes sobre filosofia Jain e metafísica, compôs um trabalho matemático chamado Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.  

Tradição oral

Matemáticos da antiga Índia e no início medieval eram quase todos pandits (Pandita "homem culto") em sânscrito,[37] que foram treinados no idioma sânscrito e literatura, e possuiam "um fundo comum de conhecimentos em gramática (vyākaraṇa), a exegese (mīmāṃsā) e lógica (nyāya)."[37] Memorização “do que é ouvido" (śruti em sânscrito) através recitação que desempeva um papel importante na transmissão de textos sagrados na Índia antiga. Memorização e recitação também foram usadas para transmitir obras filosóficas e literárias, bem como tratados sobre rituais e gramática. Os estudiosos modernos da Índia antiga notaram as "realizações verdadeiramente notáveis dos pandits indianos, que têm preservado enormemente textos volumosos oralmente por milênios."[38]   

Estilos de memorização

Prodigiosa energia foi despendida pela antiga cultura indiana na garantia de que esses textos fossem transmitidos de geração em geração com excessiva fidelidade.[39] Por exemplo, a memorização dos Vedas sagrados incluiu até onze formas de recitação do mesmo texto. Os textos foram posteriormente "provado-pela-leitura" ao comparar as diferentes versões recitadas. Formas de recitação incluiam a jaṭā-pāṭha (literalmente "recitação em malha"), no qual a cada duas palavras adjacentes no texto eram recitadas pela primeira vez na sua ordem original, em seguida, repetidas na ordem inversa e, finalmente, repetidas novamente na ordem original.[40]  A recitação então procedia como:   

palavra1palavra2, palavra2palavra1, palavra1palavra2;
palavra2palavra3, palavra3palavra2, palavra2palavra3;...

Em uma outra forma de recitação, dhvaja-pāṭha [40] (literalmente "recitação em bandeira") uma seqüência de N palavras eram recitados (e memorizadas), emparelhando as duas primeiras e duas últimas palavras e, em seguida, procedendo como:

palavra1palavra2, palavraN-1palavraN; palavra2palavra3, palavraN-3palavraN-2;...;

palavraN-1palavraN, palavra1palavra2;

A forma mais complexa de recitação, ghana-pāṭha a (literalmente "recitação densa"), de acordo com (Filliozat 2004, p. 139), tomou a forma:

palavra1palavra2, palavra2palavra1, palavra1palavra2palavra3, palavra3palavra2palavra1, palavra1palavra2palavra3;

palavra2palavra3, palavra3palavra2, palavra2palavra3palavra4,

palavra4palavra3palavra2, palavra2palavra3palavra4; …

Que estes métodos tenham sido eficazes, é testemunhado pela preservação do mais antigo texto religioso indiano, o Ṛgveda (cerca de 1500 a.C.), como um texto único, sem quaisquer leituras variantes.[40] Métodos semelhantes foram usados para memorizar textos matemáticos, cuja transmissão permaneu exclusivamente oral até o final do período védico (cerca de 500 a.C.).

O gênero Sūtra

Atividade matemática na antiga Índia começou como uma parte de uma "reflexão metodológica" sobre os Vedas sagrados, que assumiram a forma de obras chamado Vedāṇgas, ou, "Auxiliares do Veda" (séculos VII a IV a.C).[41] A necessidade de conservar a sonoridade do texto sagrado por uso de śikṣā (fonética) e chhandas (métrica); para conservar o seu significado através da utilização de vyākaraṇa (gramática) e nirukta (etimologia); e para executar corretamente os ritos no momento correto pelo uso de kalpa (ritual) e jyotiṣa (astrologia), deu origem às seis disciplinas dos Vedāṇgas.[41] Matemática surgiu como parte da última duas disciplinas, ritual e astronomia (que incluia também a astrologia). Dado que os Vedāṇgas imediatamente precederam o uso da escrita na Índia antiga, eles formaram o final da literatura exclusivamente oral. Eles foram expressos em uma forma mnemônica altamente comprimida, o sūtra (literalmente, "fio”, ou “linha"):

Os conhecedores do sūtra conhecem-na como tendo alguns fonemas, sendo desprovidas de ambiguidade, contendo a essência, apresentando diretamente todo seu conteúdo, sendo sem pausa e irrepreensíveis.[41]

Extrema brevidade foii obtida através de múltiplos meios, que incluiram o uso de reticências "além da tolerância da linguagem natural",[41] usando nomes técnicos em vez de nomes mais descritivos, cerceando listas mencionando apenas a primeira e a última entradas, e utilizando marcadores e variáveis.[41] Os sūtras criam a impressão de que a comunicação através do texto era "apenas uma parte de toda a instrução. O resto da instrução deve ter sido transmitido pela chamada Guru-shishya paramparai, 'sucessão ininterrupta de professor (guru) para o aluno (śisya) ', e não foi aberto ao público em geral ‘e talvez até mesmo mantido em segredo’.[42] A brevidade alcançada em um sūtra é demonstrada no seguinte exemplo do Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a.C.).  

O projeto do altar fogo doméstico no Śulba Sūtra.

O altar de fogo doméstico no período védico foi exigido pelo ritual para ter uma base quadrada e ser constituído de cinco camadas de tijolos com 21 tijolos em cada camada. Um método de construção de altar foi dividir um lado do quadrado em três partes iguais, usando um cabo ou corda, para dividir o lado transversal (ou perpendicular) lateral em sete partes iguais, e assim, subdividir o quadrado 21 em retângulos congruentes . Os tijolos foram então concebidos para ser da forma do componente de retângulo e a camada foi criada. Para formar a camada seguinte, a mesma fórmula foi usada, mas os tijolos foram dispostos transversalmente.[43] O processo era então repetido mais três vezes (com as direções alternadas), a fim de completar a construção. No Baudhāyana Śulba Sūtra, esse procedimento é descrito nas seguintes palavras:

“II.64. Depois de dividir o quadri-lateral em sete, uma [corda] divide a transversal em três.

II.65. Em uma outra camada coloca-se [os tijolos] apontados para o Norte.”[43]

De acordo com (Filliozat 2004, p. 144), o celebrante construindo o altar tinha apenas algumas ferramentas e materiais à sua disposição: um cabo (em Sânscrito, rajju, f.), dois pinos (em Sânscrito, śanku, m.), e barro para fazer tijolos (em Sânscrito, iṣṭakā, f.). Concisão é alcançada no sūtra, por não mencionar explicitamente o que o adjetivo "transversal" qualifica; no entanto, a partir da forma feminina do adjetivo usado (em sânscrito), é facilmente inferido que qualifica "cordão". Da mesma forma, na segunda estrofe, "tijolos" não são explicitamente mencionados, mas inferidos novamente pela forma plural feminina de "apontado para o Norte". Finalmente, a primeira estrofe, diz não explicitamente que a primeira camada de tijolos é orientada na direção leste-oeste, mas que também está implícito na menção explícita de "apontado para o Norte" na segunda estrofe; pois, se a orientação era para ser a mesma nas duas camadas, seria ou não mencionado em todos ou seria apenas mencionada na primeira estrofe. Todas estas inferências são feitas pelo celebrante como ele recorda a fórmula de sua memória.[43]  

Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8

Matemática indiana - 1

Primeira parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics

É tempo de nós estudarmos o nosso patrimônio matemático com diligência e objetividade. - S.G. DANI - S.G. Dani

A matemática indiana surgiu no subcontinente indiano [1] a partir de 1200 a.C. [2] e desenvolveu-se relativamente isolada, sem influência exterior, mas exportando seu conhecimento, até o final do século XVIII. No período clássico da matemática indiana (400 d.C. a 1600 d.C.), importantes contribuições foram feitas por estudiosos como Aryabhata, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagramaand Nilakantha Somayaji. O sistema de numeração decimal em uso hoje [3] foi primeiramente registrado na matemática indiana.[4] Matemáticos indianos fizeram contribuições iniciais para o estudo do conceito de zero como um número, [5] números negativos, [6] aritmética e álgebra.[7] Além disso, trigonometria era mais avançada na Índia,[8] e, em particular, as definições modernas de seno e cosseno foram desenvolvidas lá.[9] Estes conceitos matemáticos foram transmitidos para o Oriente Médio, China e Europa [7] e levaram a novos desenvolvimentos que agora formam os fundamentos de muitas áreas da matemática.

Uma porção de uma placa com dedicatória em um templo a Vishnu em Gwalior, construído em 876 d.C.. O número 270 visto na inscrição apresenta o mais antigo uso conhecido do algarismo zero existente na Índia. - ddkosambi.blogspot.com.br

Trabalhos matemáticos indianos antigos e medievais, todos compostas em sânscrito, geralmente consistiam de uma seção de sutras em que um conjunto de regras ou problemas eram apresentadas com grande economia nos versos, a fim de ajudar a memorização por um estudante. Isto erai seguido por uma segunda seção que consistia de um comentário em prosa (às vezes vários comentários de diferentes estudiosos) que explicavam o problema mais detalhadamente e apresentavam uma justificação para a solução. Na seção prosa, a forma (e, portanto, sua memorização) não era considerada tão importante quanto as idéias envolvidas.[1][10] Todos os trabalhos matemáticos foram transmitidos oralmente até cerca de 500 a.C.; depois, foram transmitidos oralmente e em forma manuscrita. O mais antigo documentos matemático produzido existente no subcontinente indiano é a casca de bétula Manuscrito Bakhshali, descoberto em 1881 na aldeia de Bakhshali, perto de Peshawar (atual Paquistão) e é provável que seja do século VII d.C..[11][12]

Um marco posterior na matemática indiana foi o desenvolvimento dos expansões em séries para funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente de arco) por matemáticos da escola de Kerala, no século XV d.C.. Seu trabalho notável, completou dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, sendo o que hoje é considerado o primeiro exemplo de uma série de potência (com exceção da série geométrica).[13] No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração, nem há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos fora de Kerala.[14][15][16][17]

Pré-história

Escavações em Harappa, Mohenjo-daro e outros sítios arqueológicos da Civilização do Vale do Indo (CVI) descobriram evidências do uso de "matemática prática". As pessoas da CVI fabricaram tijolos cujas dimensões eram nas proporções 4:2:1, consideradas favoráveis para a estabilidade de uma estrutura de tijolos. Eles usaram um sistema padronizado de pesos com base nas proporções: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500, com a unidade peso igual a cerca de 28 gramas (aproximadamente igual à onça inglesa ou a uncia grega). Esses pesos eram conformados em formas geométricas regulares, que incluíram hexaedros, barras, cones e cilindros, demonstrando assim o conhecimento da geometria básica, e eram produzidos em massa.[18]  

Os habitantes da civilização do Indo também tentaram padronizar a medida de comprimento a um alto grau de precisão. Eles projetaram um padrão legal — o padrão Mohenjo-daro — cuja unidade de comprimento (cerca de 3,4 centímetros ou 1,32 polegadas) foi dividido em dez partes iguais. Tijolos fabricados no padrão Mohenjo-daro, muitas vezes tinham dimensões antigas que eram múltiplos inteiros desta unidade de comprimento.[19][20]   

Período védico

Samhitas e Brahmanas

Os textos religiosos do Período Védico fornecem evidências do uso de grandes números. Ao período do Yajurvedasaṃhitā - (1200-900 a.C.), números tão elevadas como 1012 foram incluídos nos textos.[2] Por exemplo, o mantra (fórmula sacrificial) no final do annahoma ("rito da oferta de alimento"), realizado durante o Asvamedha, e pronunciado apenas antes- , durante-, e logo após o nascer do sol, invoca potências de dez de uma centena a um trilhão:[2]

"Salve śata ("cem," 102), salve sahasra ("mil," 103), salve ayuta ("dez mil," 104), salve niyuta ("cem mil," 105), salve prayuta ("milhão," 106), salve arbuda ("dez milhões," 107), salve nyarbuda ("cem milhões," 108), salve samudra ("bilhão," 109, literalmente "oceano"), salve madhya ("dez bilhões,"1010, literalmente "meio"), salve anta ("cem bilhões," 1011,lit., "fim"), salve parārdha ("um trilhão," 1012 lit., "partes além"), salve o amanhecer (us'as), salve o crepúsculo (vyuṣṭi), salve o que vai se elevar (udeṣyat), salve o que está se elevando (udyat), salve ao que já se elevou (udita), salve svarga (o paraíso), salve martya (o mundo), salve tudo.”[2]

A solução a fração parcial era conhecida do Povo Rigvédico como apresentado no purush Sukta (RV 10.90.4):

Com três quartos Purusha subiu: de um quarto dele novamente esteve aqui.

O Satapatha Brahmana (aproximadamente sétimo século a.C.) contém regras para construções geométricas rituais que são semelhantes aos Sutras Sulba.[21]  

Śulba Sūtras

O Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos dos acordes" em sânscrito védico) (aprox. 700-400 a.C.) lista regras para a construção de altares de fogo de sacrifício.[22] A maioria dos problemas matemáticos considerados na primavera Śulba Sūtras de "uma única exigência teológica ",[23] para a construção de altares de fogo que têm diferentes formas, mas ocupam a mesma área. Os altares eram obrigados a ser construídos de cinco camadas de tijolo queimado, adicionalmente com a condição de que cada camada consistia de 200 tijolos em que não haveria duas camadas adjacentes com congruências de tijolos.[23]  

De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), o Śulba Sūtras contém "a mais antiga expressão verbal existente do teorema de Pitágoras no mundo, embora já tivesse sido conhecido pelos antigos babilônios."

“A corda diagonal (akṣṇayā-rajju) de um  (retângulo) oblongo produz tanto como as (cordas) do flanco (pārśvamāni) e a horizontal (tiryaṇmānī) produzem separadamente."[24]   

Dado que a declaração é um sūtra, é necessariamente compacto e o que as cordas produzem não é elaborado, mas o contexto implica claramente as áreas dos quadrados construídos em seus comprimentos, e tal seria explicado pelo professor para o aluno.[24]  

Eles contêm listas de trios pitagóricos,[25] que são casos particulares de equações diofantinas.[26] Também contêm afirmações (que com retrospectiva que sabemos ser aproximada) sobre a quadratura do círculo e "circulatura do quadrado".[27]  

Baudhayana (aproximadamente século VIII a.C.) compôs a Baudhayana Śulba Sūtra, o mais conhecido Śulba Sūtra, que contém exemplos de trios pitagóricos simples, tais como: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8 , 15, 17), (7, 24, 25), e (12, 35, 37),[28] bem como uma indicação do teorema de Pitágoras para os lados de um quadrado: "a corda que é esticada entre os diagonal de um quadrado produz uma área duas vezes o tamanho do quadrado original "[28] também contém a instrução geral do teorema de Pitágoras (para os lados de um rectângulo): "A corda esticada ao longo do comprimento da diagonal de um retângulo faz uma área que os lados verticais e horizontais fazem em conjunto."[28] Baudhayana dá uma fórmula para a raiz quadrada de dois,[29]  

A fórmula é precisa até a quinta casa decimal, o valor verdadeiro sendo 1,41421356 ... [30] Esta fórmula é semelhante em estrutura à fórmula encontrada em uma tábua da Mesopotâmia [31] do período babilônico antigo (1900-1600 a.C.):[29]  

que expressa √2 no sistema sexagesimal, e que também é preciso até cinco casas decimais (após arredondamento).

De acordo com o matemático S.G. Dani, a tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322, escrita em 1850 a.C.[32] "contém quinze trios pitagóricos com valores bastante grandes, incluindo (13500, 12709, 18541), que é um trio primitivo,[33], o que indica, em particular, que havia sofisticada compreensão sobre o tema" na Mesopotâmia em 1850 a.C.. "Uma vez que estas tábuas são anteriores ao período Śulba Sūtras por vários séculos, tendo em conta o aspecto contextual de algumas dos trios, é razoável esperar que compreensão semelhante teria ocorrido na Índia."[34] Dani continua dizendo:

"Como o principal objetivo do Śulba Sūtras foi descrever as construções de altares e os princípios geométricos envolvidos neles, objeto de trios pitagóricos, mesmo se isso tivesse sido bem entendido podendo ainda não ter sido apresentado no Śulba Sūtras. A ocorrência dos triplos no Śulba Sūtras é comparável à matemática que se pode encontrar em um livro introdutório sobre arquitetura ou de outra área aplicada semelhante, e não correspondem diretamente ao conhecimento geral sobre o tema nesse momento. uma vez que, infelizmente, não há outras fontes contemporâneas que tenham sido encontrados e isso pode nunca ser possível de ser resolvido como problema de forma satisfatória."[34]

Ao todo, três Śulba Sūtras foram compostos. Os dois restantes, o Manava Śulba Sūtra composto por Manava (fl. 750-650 aC) e o Apastamba Śulba Sūtra, composto por Apastamba (c. 600 a.C.), continha resultados semelhantes ao Baudhayana Śulba Sūtra.

Vyakarana

Um marco importante do período védico foi o trabalho do gramático sânscrito, Pāṇini (c. 520-460 aC). Sua gramática inclui o uso precoce de lógica booleana, do operador nulo, e de gramáticas livres de contexto, e inclui um precursor do formulário Backus-Naur (usado na descrição de linguagens de programação).

Pingala

Entre os estudiosos do período pós-védico que contribuíram para a matemática, o mais notável é Pingala (pingalá) (fl. 300-200 a.C.), teórico musical que foi o autor do Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, também Chhandas Sūtra chhandaḥ-sūtra ), um tratado sânscrito sobre prosódia. Há evidências de que em seu trabalho sobre a enumeração de combinações silábicas, Pingala tropeçou tanto no triângulo de Pascal como em coeficientes binomiais, embora ele mesmo não tivesse conhecimento do teorema bbnomial.[35][36] A obra de Pingala também contém as idéias básicas dos números de Fibonacci (chamados maatraameru). Embora o Chhandas Sūtra não tenha sobrevivido em sua totalidade, um comentário do século X por Halāyudha tem. Halāyudha, que refere-se ao triângulo Pascal como Meru-prastāra (literalmente "a escada para o monte: Meru"), cntém essa afirmação:

"Desenhe um quadrado. Começando pela metade do quadrado, desenhe dois outros quadrados semelhantes abaixo dele. Abaixo desses dois, três outros quadrados, e assim por diante. A marcação deve ser iniciada por colocar 1 no primeiro quadrado. Coloque 1 em cada um dos dois quadrados da segunda linha. Na terceira linha coloque 1 nos dois quadrados nas extremidades e, no quadrado do meio, a soma dos dígitos nos dois quadrados que encontram-se acima dele. Na quarta linha colocar 1 nos dois quadrados nas extremidades. No meio coloque a soma dos dígitos nos dois quadrados acima de cada. Procedendo desta forma. Destas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba, a terceira as combinações com duas sílabas, ... "[35]  

O texto também indica que Pingala estava ciente da identidade combinatória:[36]   

Katyayana

Katyayana (c. século III a.C.) é notável por ser o último dos matemáticos védicos. Ele escreveu o Katyayana Śulba Sūtra, que apresentou muita geometria, incluindo o teorema de Pitágoras geral e um cálculo da raiz quadrada de 2 correta a cinco casas decimais.

Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8