Matemática indiana - 2

Segunda parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics

Matemática Jain (400 a.C - 200 d.C)

Embora o Jainismo como uma religião e filosofia antecede o seu mais famoso expoente, o grande Mahavira (século VI a.C.), a maioria dos textos Jain sobre temas matemáticos foram feitos após o século VI a.C.. Matemáticos Jain são importantes historicamente como ligações cruciais entre a matemática do período védico e aqueles do "período clássico".

Pintura tântrica jainista. - www.jainpedia.org

A contribuição histórica significativa dos matemáticos Jain estava em sua libertarem a matemática indiana de suas restrições religiosas e rituais. Em particular, o seu fascínio com a enumeração dos números muito grandes e infinitos os levou a classificar os números em três classes: enumeráveis, inumeráveis e infinitos. Não contentes com uma simples noção de infinito, passaram a definir cinco diferentes tipos de infinito: o infinito em uma direção, o infinito em duas direções, o infinito na área, o infinito em todos os lugares, e o infinito perpetuamente. Além disso, os matemáticos Jain conceberam notações para potências simples (e expoentes) de números como quadrados e cubos, o que lhes permitiu definir equações algébricas simples (beejganita samikaran). Matemáticos Jain foram, aparentemente, também os primeiros a usar a palavra shunya (literalmente “vazio” em sânscrito) para se referir a zero. Mais de um milênio depois, sua denominação tornou-se o Inglês palavra "zero" depois de uma viagem tortuosa de traduções e transliterações da Índia para a Europa. (Veja Zero: Etimologia.)   

Em adição a Surya Prajnapti, importante trabalhos Jain na matemática incluiram a Vaishali Ganit (c. terceiro século a.C.); o Sthananga Sutra (fl. 300 a.C. - 200 d.C.); o Anoyogdwar Sutra (fl. 200 a.C. - 100 d.C.); e o Satkhandagama (c. século II d.C.). Importantes matemáticos Jain incluiram Bhadrabahu, o autor de duas obras astronômicas, o Bhadrabahavi-Samhita e um comentário sobre a Surya Prajinapti (d. 298 a.C.); Yativrisham Acharya (c 176 a.C.), autor de um texto matemático chamado Tiloyapannati; e Umasvati (c. 150 a.C.), que, embora mais conhecido por seus escritos influentes sobre filosofia Jain e metafísica, compôs um trabalho matemático chamado Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.  

Tradição oral

Matemáticos da antiga Índia e no início medieval eram quase todos pandits (Pandita "homem culto") em sânscrito,[37] que foram treinados no idioma sânscrito e literatura, e possuiam "um fundo comum de conhecimentos em gramática (vyākaraṇa), a exegese (mīmāṃsā) e lógica (nyāya)."[37] Memorização “do que é ouvido" (śruti em sânscrito) através recitação que desempeva um papel importante na transmissão de textos sagrados na Índia antiga. Memorização e recitação também foram usadas para transmitir obras filosóficas e literárias, bem como tratados sobre rituais e gramática. Os estudiosos modernos da Índia antiga notaram as "realizações verdadeiramente notáveis dos pandits indianos, que têm preservado enormemente textos volumosos oralmente por milênios."[38]   

Estilos de memorização

Prodigiosa energia foi despendida pela antiga cultura indiana na garantia de que esses textos fossem transmitidos de geração em geração com excessiva fidelidade.[39] Por exemplo, a memorização dos Vedas sagrados incluiu até onze formas de recitação do mesmo texto. Os textos foram posteriormente "provado-pela-leitura" ao comparar as diferentes versões recitadas. Formas de recitação incluiam a jaṭā-pāṭha (literalmente "recitação em malha"), no qual a cada duas palavras adjacentes no texto eram recitadas pela primeira vez na sua ordem original, em seguida, repetidas na ordem inversa e, finalmente, repetidas novamente na ordem original.[40]  A recitação então procedia como:   

palavra1palavra2, palavra2palavra1, palavra1palavra2;
palavra2palavra3, palavra3palavra2, palavra2palavra3;...

Em uma outra forma de recitação, dhvaja-pāṭha [40] (literalmente "recitação em bandeira") uma seqüência de N palavras eram recitados (e memorizadas), emparelhando as duas primeiras e duas últimas palavras e, em seguida, procedendo como:

palavra1palavra2, palavraN-1palavraN; palavra2palavra3, palavraN-3palavraN-2;...;

palavraN-1palavraN, palavra1palavra2;

A forma mais complexa de recitação, ghana-pāṭha a (literalmente "recitação densa"), de acordo com (Filliozat 2004, p. 139), tomou a forma:

palavra1palavra2, palavra2palavra1, palavra1palavra2palavra3, palavra3palavra2palavra1, palavra1palavra2palavra3;

palavra2palavra3, palavra3palavra2, palavra2palavra3palavra4,

palavra4palavra3palavra2, palavra2palavra3palavra4; …

Que estes métodos tenham sido eficazes, é testemunhado pela preservação do mais antigo texto religioso indiano, o Ṛgveda (cerca de 1500 a.C.), como um texto único, sem quaisquer leituras variantes.[40] Métodos semelhantes foram usados para memorizar textos matemáticos, cuja transmissão permaneu exclusivamente oral até o final do período védico (cerca de 500 a.C.).

O gênero Sūtra

Atividade matemática na antiga Índia começou como uma parte de uma "reflexão metodológica" sobre os Vedas sagrados, que assumiram a forma de obras chamado Vedāṇgas, ou, "Auxiliares do Veda" (séculos VII a IV a.C).[41] A necessidade de conservar a sonoridade do texto sagrado por uso de śikṣā (fonética) e chhandas (métrica); para conservar o seu significado através da utilização de vyākaraṇa (gramática) e nirukta (etimologia); e para executar corretamente os ritos no momento correto pelo uso de kalpa (ritual) e jyotiṣa (astrologia), deu origem às seis disciplinas dos Vedāṇgas.[41] Matemática surgiu como parte da última duas disciplinas, ritual e astronomia (que incluia também a astrologia). Dado que os Vedāṇgas imediatamente precederam o uso da escrita na Índia antiga, eles formaram o final da literatura exclusivamente oral. Eles foram expressos em uma forma mnemônica altamente comprimida, o sūtra (literalmente, "fio”, ou “linha"):

Os conhecedores do sūtra conhecem-na como tendo alguns fonemas, sendo desprovidas de ambiguidade, contendo a essência, apresentando diretamente todo seu conteúdo, sendo sem pausa e irrepreensíveis.[41]

Extrema brevidade foii obtida através de múltiplos meios, que incluiram o uso de reticências "além da tolerância da linguagem natural",[41] usando nomes técnicos em vez de nomes mais descritivos, cerceando listas mencionando apenas a primeira e a última entradas, e utilizando marcadores e variáveis.[41] Os sūtras criam a impressão de que a comunicação através do texto era "apenas uma parte de toda a instrução. O resto da instrução deve ter sido transmitido pela chamada Guru-shishya paramparai, 'sucessão ininterrupta de professor (guru) para o aluno (śisya) ', e não foi aberto ao público em geral ‘e talvez até mesmo mantido em segredo’.[42] A brevidade alcançada em um sūtra é demonstrada no seguinte exemplo do Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a.C.).  

O projeto do altar fogo doméstico no Śulba Sūtra.

O altar de fogo doméstico no período védico foi exigido pelo ritual para ter uma base quadrada e ser constituído de cinco camadas de tijolos com 21 tijolos em cada camada. Um método de construção de altar foi dividir um lado do quadrado em três partes iguais, usando um cabo ou corda, para dividir o lado transversal (ou perpendicular) lateral em sete partes iguais, e assim, subdividir o quadrado 21 em retângulos congruentes . Os tijolos foram então concebidos para ser da forma do componente de retângulo e a camada foi criada. Para formar a camada seguinte, a mesma fórmula foi usada, mas os tijolos foram dispostos transversalmente.[43] O processo era então repetido mais três vezes (com as direções alternadas), a fim de completar a construção. No Baudhāyana Śulba Sūtra, esse procedimento é descrito nas seguintes palavras:

“II.64. Depois de dividir o quadri-lateral em sete, uma [corda] divide a transversal em três.

II.65. Em uma outra camada coloca-se [os tijolos] apontados para o Norte.”[43]

De acordo com (Filliozat 2004, p. 144), o celebrante construindo o altar tinha apenas algumas ferramentas e materiais à sua disposição: um cabo (em Sânscrito, rajju, f.), dois pinos (em Sânscrito, śanku, m.), e barro para fazer tijolos (em Sânscrito, iṣṭakā, f.). Concisão é alcançada no sūtra, por não mencionar explicitamente o que o adjetivo "transversal" qualifica; no entanto, a partir da forma feminina do adjetivo usado (em sânscrito), é facilmente inferido que qualifica "cordão". Da mesma forma, na segunda estrofe, "tijolos" não são explicitamente mencionados, mas inferidos novamente pela forma plural feminina de "apontado para o Norte". Finalmente, a primeira estrofe, diz não explicitamente que a primeira camada de tijolos é orientada na direção leste-oeste, mas que também está implícito na menção explícita de "apontado para o Norte" na segunda estrofe; pois, se a orientação era para ser a mesma nas duas camadas, seria ou não mencionado em todos ou seria apenas mencionada na primeira estrofe. Todas estas inferências são feitas pelo celebrante como ele recorda a fórmula de sua memória.[43]  

Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8