Matemática indiana - 1

Primeira parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics

É tempo de nós estudarmos o nosso patrimônio matemático com diligência e objetividade. - S.G. DANI - S.G. Dani

A matemática indiana surgiu no subcontinente indiano [1] a partir de 1200 a.C. [2] e desenvolveu-se relativamente isolada, sem influência exterior, mas exportando seu conhecimento, até o final do século XVIII. No período clássico da matemática indiana (400 d.C. a 1600 d.C.), importantes contribuições foram feitas por estudiosos como Aryabhata, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagramaand Nilakantha Somayaji. O sistema de numeração decimal em uso hoje [3] foi primeiramente registrado na matemática indiana.[4] Matemáticos indianos fizeram contribuições iniciais para o estudo do conceito de zero como um número, [5] números negativos, [6] aritmética e álgebra.[7] Além disso, trigonometria era mais avançada na Índia,[8] e, em particular, as definições modernas de seno e cosseno foram desenvolvidas lá.[9] Estes conceitos matemáticos foram transmitidos para o Oriente Médio, China e Europa [7] e levaram a novos desenvolvimentos que agora formam os fundamentos de muitas áreas da matemática.

Uma porção de uma placa com dedicatória em um templo a Vishnu em Gwalior, construído em 876 d.C.. O número 270 visto na inscrição apresenta o mais antigo uso conhecido do algarismo zero existente na Índia. - ddkosambi.blogspot.com.br

Trabalhos matemáticos indianos antigos e medievais, todos compostas em sânscrito, geralmente consistiam de uma seção de sutras em que um conjunto de regras ou problemas eram apresentadas com grande economia nos versos, a fim de ajudar a memorização por um estudante. Isto erai seguido por uma segunda seção que consistia de um comentário em prosa (às vezes vários comentários de diferentes estudiosos) que explicavam o problema mais detalhadamente e apresentavam uma justificação para a solução. Na seção prosa, a forma (e, portanto, sua memorização) não era considerada tão importante quanto as idéias envolvidas.[1][10] Todos os trabalhos matemáticos foram transmitidos oralmente até cerca de 500 a.C.; depois, foram transmitidos oralmente e em forma manuscrita. O mais antigo documentos matemático produzido existente no subcontinente indiano é a casca de bétula Manuscrito Bakhshali, descoberto em 1881 na aldeia de Bakhshali, perto de Peshawar (atual Paquistão) e é provável que seja do século VII d.C..[11][12]

Um marco posterior na matemática indiana foi o desenvolvimento dos expansões em séries para funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente de arco) por matemáticos da escola de Kerala, no século XV d.C.. Seu trabalho notável, completou dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, sendo o que hoje é considerado o primeiro exemplo de uma série de potência (com exceção da série geométrica).[13] No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração, nem há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos fora de Kerala.[14][15][16][17]

Pré-história

Escavações em Harappa, Mohenjo-daro e outros sítios arqueológicos da Civilização do Vale do Indo (CVI) descobriram evidências do uso de "matemática prática". As pessoas da CVI fabricaram tijolos cujas dimensões eram nas proporções 4:2:1, consideradas favoráveis para a estabilidade de uma estrutura de tijolos. Eles usaram um sistema padronizado de pesos com base nas proporções: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500, com a unidade peso igual a cerca de 28 gramas (aproximadamente igual à onça inglesa ou a uncia grega). Esses pesos eram conformados em formas geométricas regulares, que incluíram hexaedros, barras, cones e cilindros, demonstrando assim o conhecimento da geometria básica, e eram produzidos em massa.[18]  

Os habitantes da civilização do Indo também tentaram padronizar a medida de comprimento a um alto grau de precisão. Eles projetaram um padrão legal — o padrão Mohenjo-daro — cuja unidade de comprimento (cerca de 3,4 centímetros ou 1,32 polegadas) foi dividido em dez partes iguais. Tijolos fabricados no padrão Mohenjo-daro, muitas vezes tinham dimensões antigas que eram múltiplos inteiros desta unidade de comprimento.[19][20]   

Período védico

Samhitas e Brahmanas

Os textos religiosos do Período Védico fornecem evidências do uso de grandes números. Ao período do Yajurvedasaṃhitā - (1200-900 a.C.), números tão elevadas como 1012 foram incluídos nos textos.[2] Por exemplo, o mantra (fórmula sacrificial) no final do annahoma ("rito da oferta de alimento"), realizado durante o Asvamedha, e pronunciado apenas antes- , durante-, e logo após o nascer do sol, invoca potências de dez de uma centena a um trilhão:[2]

"Salve śata ("cem," 102), salve sahasra ("mil," 103), salve ayuta ("dez mil," 104), salve niyuta ("cem mil," 105), salve prayuta ("milhão," 106), salve arbuda ("dez milhões," 107), salve nyarbuda ("cem milhões," 108), salve samudra ("bilhão," 109, literalmente "oceano"), salve madhya ("dez bilhões,"1010, literalmente "meio"), salve anta ("cem bilhões," 1011,lit., "fim"), salve parārdha ("um trilhão," 1012 lit., "partes além"), salve o amanhecer (us'as), salve o crepúsculo (vyuṣṭi), salve o que vai se elevar (udeṣyat), salve o que está se elevando (udyat), salve ao que já se elevou (udita), salve svarga (o paraíso), salve martya (o mundo), salve tudo.”[2]

A solução a fração parcial era conhecida do Povo Rigvédico como apresentado no purush Sukta (RV 10.90.4):

Com três quartos Purusha subiu: de um quarto dele novamente esteve aqui.

O Satapatha Brahmana (aproximadamente sétimo século a.C.) contém regras para construções geométricas rituais que são semelhantes aos Sutras Sulba.[21]  

Śulba Sūtras

O Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos dos acordes" em sânscrito védico) (aprox. 700-400 a.C.) lista regras para a construção de altares de fogo de sacrifício.[22] A maioria dos problemas matemáticos considerados na primavera Śulba Sūtras de "uma única exigência teológica ",[23] para a construção de altares de fogo que têm diferentes formas, mas ocupam a mesma área. Os altares eram obrigados a ser construídos de cinco camadas de tijolo queimado, adicionalmente com a condição de que cada camada consistia de 200 tijolos em que não haveria duas camadas adjacentes com congruências de tijolos.[23]  

De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), o Śulba Sūtras contém "a mais antiga expressão verbal existente do teorema de Pitágoras no mundo, embora já tivesse sido conhecido pelos antigos babilônios."

“A corda diagonal (akṣṇayā-rajju) de um  (retângulo) oblongo produz tanto como as (cordas) do flanco (pārśvamāni) e a horizontal (tiryaṇmānī) produzem separadamente."[24]   

Dado que a declaração é um sūtra, é necessariamente compacto e o que as cordas produzem não é elaborado, mas o contexto implica claramente as áreas dos quadrados construídos em seus comprimentos, e tal seria explicado pelo professor para o aluno.[24]  

Eles contêm listas de trios pitagóricos,[25] que são casos particulares de equações diofantinas.[26] Também contêm afirmações (que com retrospectiva que sabemos ser aproximada) sobre a quadratura do círculo e "circulatura do quadrado".[27]  

Baudhayana (aproximadamente século VIII a.C.) compôs a Baudhayana Śulba Sūtra, o mais conhecido Śulba Sūtra, que contém exemplos de trios pitagóricos simples, tais como: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8 , 15, 17), (7, 24, 25), e (12, 35, 37),[28] bem como uma indicação do teorema de Pitágoras para os lados de um quadrado: "a corda que é esticada entre os diagonal de um quadrado produz uma área duas vezes o tamanho do quadrado original "[28] também contém a instrução geral do teorema de Pitágoras (para os lados de um rectângulo): "A corda esticada ao longo do comprimento da diagonal de um retângulo faz uma área que os lados verticais e horizontais fazem em conjunto."[28] Baudhayana dá uma fórmula para a raiz quadrada de dois,[29]  

A fórmula é precisa até a quinta casa decimal, o valor verdadeiro sendo 1,41421356 ... [30] Esta fórmula é semelhante em estrutura à fórmula encontrada em uma tábua da Mesopotâmia [31] do período babilônico antigo (1900-1600 a.C.):[29]  

que expressa √2 no sistema sexagesimal, e que também é preciso até cinco casas decimais (após arredondamento).

De acordo com o matemático S.G. Dani, a tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322, escrita em 1850 a.C.[32] "contém quinze trios pitagóricos com valores bastante grandes, incluindo (13500, 12709, 18541), que é um trio primitivo,[33], o que indica, em particular, que havia sofisticada compreensão sobre o tema" na Mesopotâmia em 1850 a.C.. "Uma vez que estas tábuas são anteriores ao período Śulba Sūtras por vários séculos, tendo em conta o aspecto contextual de algumas dos trios, é razoável esperar que compreensão semelhante teria ocorrido na Índia."[34] Dani continua dizendo:

"Como o principal objetivo do Śulba Sūtras foi descrever as construções de altares e os princípios geométricos envolvidos neles, objeto de trios pitagóricos, mesmo se isso tivesse sido bem entendido podendo ainda não ter sido apresentado no Śulba Sūtras. A ocorrência dos triplos no Śulba Sūtras é comparável à matemática que se pode encontrar em um livro introdutório sobre arquitetura ou de outra área aplicada semelhante, e não correspondem diretamente ao conhecimento geral sobre o tema nesse momento. uma vez que, infelizmente, não há outras fontes contemporâneas que tenham sido encontrados e isso pode nunca ser possível de ser resolvido como problema de forma satisfatória."[34]

Ao todo, três Śulba Sūtras foram compostos. Os dois restantes, o Manava Śulba Sūtra composto por Manava (fl. 750-650 aC) e o Apastamba Śulba Sūtra, composto por Apastamba (c. 600 a.C.), continha resultados semelhantes ao Baudhayana Śulba Sūtra.

Vyakarana

Um marco importante do período védico foi o trabalho do gramático sânscrito, Pāṇini (c. 520-460 aC). Sua gramática inclui o uso precoce de lógica booleana, do operador nulo, e de gramáticas livres de contexto, e inclui um precursor do formulário Backus-Naur (usado na descrição de linguagens de programação).

Pingala

Entre os estudiosos do período pós-védico que contribuíram para a matemática, o mais notável é Pingala (pingalá) (fl. 300-200 a.C.), teórico musical que foi o autor do Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, também Chhandas Sūtra chhandaḥ-sūtra ), um tratado sânscrito sobre prosódia. Há evidências de que em seu trabalho sobre a enumeração de combinações silábicas, Pingala tropeçou tanto no triângulo de Pascal como em coeficientes binomiais, embora ele mesmo não tivesse conhecimento do teorema bbnomial.[35][36] A obra de Pingala também contém as idéias básicas dos números de Fibonacci (chamados maatraameru). Embora o Chhandas Sūtra não tenha sobrevivido em sua totalidade, um comentário do século X por Halāyudha tem. Halāyudha, que refere-se ao triângulo Pascal como Meru-prastāra (literalmente "a escada para o monte: Meru"), cntém essa afirmação:

"Desenhe um quadrado. Começando pela metade do quadrado, desenhe dois outros quadrados semelhantes abaixo dele. Abaixo desses dois, três outros quadrados, e assim por diante. A marcação deve ser iniciada por colocar 1 no primeiro quadrado. Coloque 1 em cada um dos dois quadrados da segunda linha. Na terceira linha coloque 1 nos dois quadrados nas extremidades e, no quadrado do meio, a soma dos dígitos nos dois quadrados que encontram-se acima dele. Na quarta linha colocar 1 nos dois quadrados nas extremidades. No meio coloque a soma dos dígitos nos dois quadrados acima de cada. Procedendo desta forma. Destas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba, a terceira as combinações com duas sílabas, ... "[35]  

O texto também indica que Pingala estava ciente da identidade combinatória:[36]   

Katyayana

Katyayana (c. século III a.C.) é notável por ser o último dos matemáticos védicos. Ele escreveu o Katyayana Śulba Sūtra, que apresentou muita geometria, incluindo o teorema de Pitágoras geral e um cálculo da raiz quadrada de 2 correta a cinco casas decimais.

Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8