domingo, 19 de julho de 2015

Matemática da relatividade geral - II





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O tensor curvatura de Riemann

Uma característica fundamental da relatividade geral (RG) é o conceito de uma variedade curvada. Uma forma útil de medir a curvatura de umavariedade é com um objeto chamado tensor (de curvatura) de Riemann.

Este tensor mede a curvatura através da utilização de uma conexão afim, considerando o efeito de transporte paralelo de um vetor entre dois pontos ao longo de duas curvas. A discrepância entre os resultados destas duas vias de transporte paralelo é quantificada essencialmente pelo tensor de Riemann.

Esta propriedade do tensor de Riemann pode ser usada para descrever como inicialmente geodésicas paralelas divergem. Isto é expresso pela equação de desvio geodésico e significa que as forças gravitacionais experimentadas num campo gravitacional são um resultado da curvatura do espaço-tempo.

Utilizando o procedimento acima, o tensor de Riemann é definido como um tensor tipo (1, 3) e quando completamente escrito explicitamente contém os símbolos de Christoffel e suas primeiras derivadas parciais. O tensor de Riemann tem 20 componentes independentes. O desaparecimento de todos esses componentes sobre uma região indica que o espaço-tempo é plano naquela região. Do ponto de vista de desvio geodésico, isto significa que inicialmente geodésicas paralelas naquela região do espaço-tempo se manterão paralelas.

O tensor de Riemann tem um número de propriedades por vezes referido como as simetrias do tensor de Riemann. De particular relevância para a RG são as identidades algébrica e diferencial de Bianchi.

A conexão e a curvatura de qualquer variedade de Riemann estão intimamente relacionadas, a teoria dos grupos holonômicos, que são formados por tomar mapas lineares definidos por transporte paralelo em torno das curvas da variedade, fornecendo uma descrição dessa relação.

O que o tensor de Riemann nos permite fazer é dizer, matematicamente, se um espaço é plano ou, se é curvo, quanta curvatura ocorre numa determinada região. A fim de derivar o tensor de curvatura de Riemann é preciso primeiro recordar a definição da derivada covariante de um tensor com índice um e dois;

  1. :\nabla_\mu V_\nu = \partial_\mu V_\nu - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho
  2. :\nabla_m[V_{\mu \nu}] = \partial_m V_{\mu \nu} - \Gamma^\rho{}_{m\nu} V_\rho - \Gamma^\rho{}_{m\mu} V_\rho

Para a formação do tensor de Riemann, o derivada covariante é tomada duas vezes com os aspectos de um tensor de posto um. A equação é configurado da seguinte forma;

\nabla_{\sigma , \mu} V_\nu = \nabla_\sigma[\nabla_\mu V_\nu] = \nabla_\sigma [\partial_\mu V_\nu - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho]

Seguindo a propriedade aditiva para a diferenciação covariante temos:

\nabla_\sigma [\partial_\mu V_\nu] - \nabla_\sigma [\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho]

Agora ligando isso à regra para de um segundo posto tensor;

= [\partial_\sigma[\partial_\mu V_\nu] - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} \partial_\sigma V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}\partial_\mu V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\sigma\mu}\partial_\rho V_\nu] - [\partial_\sigma [\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho] - \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}V_\rho - \Gamma^\alpha{}_{\sigma\mu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\nu}V_\rho]

Agora que tem-se resolvido para: \nabla_{\sigma , \mu}V_\nu , agora tem-se de subtrair por uma equação semelhante, aquela em que os índices latinos \sigma e \mu estão ligados; \nabla_{\mu , \sigma}V_\nu . Se resolve-se esta equação obtem-se;

[\partial_\nu[\partial_\sigma V_\nu] - \Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} \partial_\sigma V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\partial_\mu V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\partial_\rho V_\nu] - [\partial_\mu [\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} V_\rho] - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma}V_\rho - \Gamma^\alpha{}_{\mu\sigma}\Gamma^\rho{}_{\alpha\nu}V_\rho]

Agora subtraindo a primeira equação (e tendo-se em mente a simetria dos símbolos de Christoffel);

\partial_\sigma[\partial_\mu V_\nu] - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} \partial_\sigma V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}\partial_\mu V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\sigma\mu}\partial_\rho V_\nu - \partial_\sigma [\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho] + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}V_\rho + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\mu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\nu}V_\rho

\frac {-\partial_\mu[\partial_\sigma V_\nu] + \Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} \partial_\mu V_\rho + \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\partial_\sigma V_\rho + \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\partial_\rho V_\nu + \partial_\mu [\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} V_\rho] - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma}V_\rho - \Gamma^\alpha{}_{\mu\sigma}\Gamma^\rho{}_{\alpha\nu}V_\rho}{\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}V_\rho - \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}V_\rho + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}V_\rho - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma}V_\rho}

Quando cancela-se os termos semelhantes, o 1º, 2º, 3º, 4º e último termos em cada equação desaparecem e fica-se com derivadas de símbolos de Christoffel que envolvem a  segunda derivada do tensor métrico. Percebendo que V_\rho pode ser destacado para fora da equação,

(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} - \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu} - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma})V_\rho

Aqui está a equação, e agora tem-se de nomeá-la,

\nabla_\sigma \nabla_\mu V_\nu - \nabla_\mu \nabla_\sigma V_\nu = (\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} - \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu} - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma})V_\rho

Note-se que o lado esquerdo da equação tem três índices e o lado direito tem quatro, então tem-se de somar ao longo de um par de índices,

R^\rho_{\sigma\mu\nu}V_\rho = (\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} - \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu} - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma})V_\rho

Finalmente, o tensor de curvatura de Riemann é escrito como;

R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} - \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} + \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu} - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma}

Pode-se contrair índices para fazer o tensor covariante simplesmente multiplicando pela métrica, o que será útil quando se trabalha com equações de campo de Einstein,

g_{\rho\lambda}R^\lambda_{\sigma\mu\nu} = R_{\rho\sigma\mu\nu}

e por posterior decomposição,

g^{\rho\mu}R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\sigma\nu}

Este tensor é chamado tensor de Ricci, que também pode ser obtido por ajustar-se \rho e \mu no tensor de Riemann ao mesmo indice e somando-se sobre eles. Então a curvatura escalar pode ser encontrado indo-se um passo além,

g^{\sigma\nu}R_{\sigma\nu} = R

Então agora tem-se três objetos diferentes,
  1. o tensor curvatura de Riemann: R^\rho_{\sigma\mu\nu} ou R_{\rho\sigma\mu\nu}
  2. o tensor de Ricci: R_{\sigma\nu}
  3. a curvatura escalar: R
todos os quais são úteis para calcular-se soluções das equações de campo de Einstein.

O tensor de energia-momento

As fontes de qualquer campo gravitacional (matéria e energia) estão representadas na relatividade por um tensor simétrico de tipo (0, 2) chamado tensor energia-momento. Ele está intimamente relacionado com o tensor de Ricci. Sendo um tensor de tipo dois em quatro dimensões, o tensor energia-momento pode ser visto como uma matriz 4 por 4. Dos vários tipos de matriz admissíveis, chamadas formas de Jordan, nem todas podem ocorrer, dado que as condições de energia que o tensor de energia-momento é forçado a satisfazer excluem certas formas.


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Conservação de energia

Na RG, existe uma lei local para a conservação da energia-momento. Pode ser sucintamente expressa pela equação tensor:

T^{ab}{}_{;b} \, = 0

A declaração correspondente da conservação de energia local na relatividade especial é:

T^{ab}{}_{,b} \, = 0

Isto ilustra a “regra de ouro” que 'derivadas parciais levam à derivadas covariantes'.

As equações de campo de Einstein

As equações de campo de Einstein (ECE) são o núcleo da teoria da RG. As ECE descrevem como a massa e a energia (como representadas no tensor de energia-momento) estão relacionados com a curvatura do espaço-tempo (como representado no tensor de Einstein). No índice de notação abstrata, as ECE são escritas como segue:

G_{ab} + \Lambda g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}

onde \scriptstyle G_{ab} é o tensor de Einstein, \scriptstyle \Lambda é a constante cosmológica, \scriptstyle c é a velocidade da luz no vácuo e \scriptstyle G é a constante gravitacional, a qual advém da lei da gravitação universal de Newton.

As soluções das ECE estão tensores métricos. As ECE, sendo equações diferenciais não-lineares para a métrica, são muitas vezes difíceis de resolver, havendo um certo número de estratégias utilizadas para sua resolução. Por exemplo, uma estratégia é começar com uma ansatz (ou um palpite) da métrica final, e refiná-lo até que ele seja específico o suficiente para suportar um sistema de coordenadas, mas ainda suficientemente geral para produzir um conjunto de equações diferenciais simultâneas com incógnitas que possam ser resolvidas. Tensores métricos resultantes de casos em que as equações diferenciais resultantes podem ser resolvidos exatamente para uma distribuição fisicamente razoável de energia-momento são chamados de soluções exatas. Exemplos de soluções exatas importantes incluem a solução de Schwarzschild e a solução Friedman-Lemaître-Robertson-Walker.

A aproximação EIH sobre outras referências (e.g. Geroch and Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 Issue 1).

As equações geodésicas

Uma vez que as ECE são resolvidas para se obter uma métrica, permanece determinar o movimento dos objetos inerciais no espaço-tempo. Na RG, presume-se que o movimento inercial ocorre ao longo do tempo e geodésicas nulas do espaço-tempo como parametrizado por tempo próprio. Geodésicas são curvas que transportam em paralelo seu próprio vetor tangente\scriptstyle \vec U; i.e., \scriptstyle \nabla_{\vec U} \vec U \;=\; 0. Esta condição, a equação geodésica, pode ser escrita em termos de um sistema de coordenadas \scriptstyle x^acom o vetor tangente  \scriptstyle U^a = \frac{dx^a}{d \tau}:

\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \, \dot{x}^c = 0

onde \scriptstyle \dot{} indica a derivada de tempo próprio, \scriptstyle d/d\tau, com τ parametrizando tempo próprio ao longo da curva e para manifestar a presença dos símbolos de Christoffel.

A principal característica da RG é determinar as trajetórias de partículas e radiação em campos gravitacionais. Isto é realizado através da resolução das equações geodésicas.

As ECE relacionam a distribuição de matéria (energia) para a curvatura do espaço-tempo. A sua não-linearidade leva a um problema para determinar o movimento preciso da matéria no espaço-tempo resultante. Por exemplo, em um sistema composto de um planeta orbitando uma estrela, o movimento do planeta é determinado pela solução das equações de campo com o tensor energia-momento a soma para o planeta e a estrela. O campo gravitacional do planeta afeta a geometria do espaço-tempo total e, portanto, o movimento dos objetos. Por conseguinte, é razoável supor que as equações de campo pode ser usadas para derivar as equações geodésicas.

Quando o tensor energia-momento para um sistema é o de “poeira”, pode ser mostrado usando a lei de conservação local para o tensor de energia-momento que as equações geodésicas estão satisfeitas exatamente.

Formulação Lagrangiana

A questão de derivar as equações de movimento ou equações de campos em qualquer teoria física é considerada por muitos pesquisadores como sendo atrativa. Uma forma bastante universal de realizar estas derivações é usando as técnicas de cálculo de variações, os principais objetos usados neste sendo Lagrangianas.

Muitos consideram que esta abordagem é uma maneira elegante de construção de uma teoria, outros como apenas uma maneira formal de expressar uma teoria (normalmente, a construção de Lagrange é realizada após a teoria ter sido desenvolvida).

Técnicas matemáticas para a análise de espaços-tempos

Tendo sido esboçadas as estruturas matemáticas básicas usadas na formulação da teoria, serão agora discutidas algumas técnicas matemáticas importantes que são empregadas na pesquisa de espaços-tempos.

Estrutura de campos

Uma estrutura de campo é um conjunto ortonormal de quatro campos vetoriais (1 do tipo temporal, 3 espaciais) definidos em um espaço-tempo. Cada estrutura de campo pode ser considerada como representando um observador no espaço-tempo em movimento ao longo das curvas integrais do campo vetorial do tipo temporal. Cada tensor grandeza pode ser expresso em termos de uma estrutura de campo, em particular, o tensor métrico assume uma forma particularmente conveniente. Quando aliado com campos “coestrutura” (observadores), estruturas de campos fornecem uma ferramenta poderosa para a análise de espaços-tempos e fisicamente interpretam os resultados matemáticos.

Simetria de campos vetoriais

Algumas técnicas modernas em análise de espaços-tempos dependem fortemente de usar-se simetrias do espaço-tempo, que são geradas infinitesimalmente por campos vetoriais (geralmente definidos localmente) em um espaço-tempo que preservam alguma característica do espaço-tempo. O tipo mais comum de campos vetoriais com tal simetria incluem campos vetoriais de Killing (que preservar a estrutura métrica) e suas generalizações chamados campos vetoriais de Killing generalizados. Simetria de campos vetoriais encontram ampla aplicação no estudo de soluções exatas em RG e o conjunto de todos esses campos vetoriais normalmente forma uma álgebra de Lie de dimensão finita.

O problema de Cauchy

O problema de Cauchy (às vezes chamado de problema de valor inicial) é a tentativa de encontrar uma solução para uma equação diferencial dada as condições iniciais. No contexto da RG, isso significa que o problema de encontrar soluções para as equações de campo de Einstein - um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas - dados alguns dados iniciais sobre uma hipersuperfície. Estudar o problema de Cauchy permite formular o conceito de causalidade na RG, bem como soluções “parametrizadas” das equações de campo. Idealmente, deseja-se soluções globais, mas geralmente soluções locais são o melhor que se pode esperar. Normalmente, a solução deste problema de valor inicial requer a seleção de condições de coordenadas particulares.

Formalismo de espinor

Espinores encontram diversas aplicações importantes na relatividade. A sua utilização como um método de análise espaços-tempos usando de tétradas, em particular, é importante no formalismo de Newman-Penrose.
Outra característica atraente de espinores em RG é a maneira condensada em que algumas equações de tensores podem ser escritas usando seu formalismo. Por exemplo, ao classificar o tensor de Weyl, a determinação dos vários tipos de Petrov torna-se muito mais fácil quando comparados com o homólogo tensorial.

Cálculo de Regge

O cálculo de Regge é um formalismo no qual “fatia-se” uma variedade Lorentziana em 'pedaços' discretos (blocos simpliciais de quatro dimensões) e os comprimentos das arestas do bloco são tomadas como as variáveis básicas. A versão discreta da ação de Einstein-Hilbert é obtida considerando os chamados ângulos déficit desses blocos, sendo que um ângulo de déficit zero correspondente à ausência de curvatura. Este idéia relativamente recente encontra aplicação em métodos de aproximação numérica na relatividade e gravitação quântica, esta última usando uma generalização do cálculo de Regge.

Teoremas de singularidade

Na RG, observou-se que, sob condições bastante genéricas, o colapso gravitacional levará inevitavelmente a uma chamada singularidade. A singularidade é um ponto em que as soluções das equações se tornam infinitas, indicando que a teoria tem sido tratada (matematicamente) em intervalos inadequados.

Relatividade numérica

Relatividade numérica é o sub-campo da RG, que procura resolver as equações de Einstein através da utilização de métodos numéricos. Diferenças finitas, elementos finitos e métodos pseudo-espectrais são utilizados para aproximar a solução das equações diferenciais parciais que surgem. Novas técnicas desenvolvidas pela relatividade numérica incluem o método de excisão e o método de punção para lidar com as singularidades que surgem em espaços-tempos de buracos negros. Tópicos de investigação comuns incluem buracos negros e estrelas de nêutrons.

nanohub.org

Métodos de perturbação

A não-linearidade das equações de campo de Einstein muitas vezes leva a considerar-se métodos de aproximação para resolvê-los. Por exemplo, uma abordagem importante é linearizar-se as equações de campo. Técnicas de teoria de perturbação encontram ampla aplicação em tais áreas.


Referências
  • Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
  • Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
  • Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.


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