Historia da geometria - II

Segunda parte da tradução de: en.wikipedia.org - History of geometry

Geometria islâmica

Embora os matemáticos islâmicos sejam mais famosos por seu trabalho em álgebra, teoria dos números e sistemas de numeração, eles também fizeram contribuições consideráveis à geometria, trigonometria e astronomia matemática, e foram responsáveis pelo desenvolvimento da geometria algébrica. Magnitudes geométricas foram tratadas, no entanto, como "objetos algébricos" pela maioria dos matemáticos islâmicos.

Página do Al-Jabr wa-al-Muqabilah

Al-Mahani (nascido em 820) concebeu a idéia de reduzir problemas geométricos, como a duplicação do cubo, para os problemas de álgebra. Al-Karaji (nascido em 953) livrou completamente a álgebra de operações geométricas e substituiu-a com o tipo aritmético de operações que estão no cerne da álgebra hoje.

Uma gravura de Albrecht Dürer caracteriza Mashallah, a partir da página de título do De scientia motus orbis (versão latina com gravura, 1504). Como em muitas ilustrações medievais, o compasso aqui é um ícone da religião, bem como ciência, em referência a Deus como o arquiteto da criação.

A família  de Thābit e outros geômetras iníciais

Thābit ibn Qurra (conhecido como Thebit em latim, nascido em 836) contribuiu para uma variedade de áreas da matemática, onde desempenhou um papel importante na preparação do caminho para descobertas matemáticas importantes como o alargamento do conceito de número (positivo) para números reais, cálculo integral, teoremas de trigonometria esférica, geometria analítica e geometria não-euclidiana. Em astronomia, Thābit foi um dos primeiros reformadores do sistema de Ptolomeu, e em mecânica, ele foi um dos fundadores da estática. Um aspecto geométrico importante do trabalho de Thābit era seu livro sobre a composição dos índices. Neste livro, Thābit lida com operações aritméticas aplicadas a relações de grandezas geométricas. Os gregos tinham lidado com quantidades geométricas, mas não tinha pensado neles da mesma maneira como números para os quais as regras usuais da aritmética poderiam ser aplicadas. Com a introdução de operações aritméticas em quantidades previamente consideradas geométricas e não-numéricas, Thābit iniciou uma tendência que levou, eventualmente, para a generalização do conceito de número.

Em alguns aspectos, Thābit é crítico das idéias de Platão e Aristóteles, particularmente no que refere-se ao movimento. Parece que aqui suas idéias são baseadas em uma aceitação do uso de argumentos relacionados ao movimento em seus argumentos geométricos. Outra contribuição importante de Thābit feita à geometria era a sua generalização do teorema de Pitágoras, que se estendia desde triângulos retângulos especiais para todos os triângulos em geral, juntamente com uma prova geral.[31]

Ibrahim ibn Sinan ibn Thābit (nascido em 908), que introduziu um método de integração mais geral do que o de Arquimedes, e Andal-Quhi (nascido em 940) foram figuras importantes em um renascimento e continuação da geometria grega mais elevada no mundo islâmico. Estes matemáticos, e em particular Ibn al-Haytham, estudou a óptica e investigou as propriedades ópticas dos espelhos feitos a partir de seções cônicas.

Astronomia, medição do tempo e geografia forneciam outras motivações para a pesquisa geométrica e trigonométrica. Por exemplo, tanto Ibrahim ibn Sinan e seu avô Thābit ibn Qurra estudaram as curvas necessárias na construção de relógios de sol. Tanto Abu'l-Wafa como Abu Nasr Mansur aplicaram geometria esférica à astronomia.

Arquitetura geométrica

Descobertas recentes têm mostrado que os padrões geométricos de quasicristais foram empregados pela primeira vez nos mozaicos girih encontradas na arquitetura islâmica medieval que remonta até cinco séculos atrás. Um estudo de 2007 na revista Science sugeriu que mozaicos girih tem propriedades consistentes com fractais auto-similares quasicristalinos, tais como as pavimentações Penrose, antecedendo-os por cinco séculos.[32][33]

Geometria moderna

O século XVII

Quando a Europa começou a emergir de sua Idade das Trevas, os textos helênicos e islâmicos sobre geometria encontrados em bibliotecas islâmicas foram traduzidos do árabe para o latim. Os métodos dedutivos rigorosos de geometria encontrados nos Elementos de Euclides da geometria foram reaprendidos, e um maior desenvolvimento da geometria nos estilos tanto de Euclides (geometria euclidiana) e Khayyam (geometria algébrica) continuaram, resultando em uma abundância de novos teoremas e conceitos, muitos deles extremamente profundos e elegantes.

Discurso do método, por René Descartes

No início do século XVII, havia dois importantes desenvolvimentos na geometria. O primeiro e mais importante foi a criação da geometria analítica, ou geometria com coordenadas e equações, por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665). Isso foi um precursor necessário para o desenvolvimento do cálculo e uma ciência quantitativa precisa da física. O segundo desenvolvimento geométrico deste período foi o estudo sistemático da geometria projetiva por Girard Desargues (1591-1661). Geometria projetiva é o estudo da geometria sem medição, apenas o estudo de como os pontos alinham-se uns com os outros. Houvera algum trabalho inicial nesta área por geômetras helênicos, nomeadamente Pappus (aprox. 340). O maior florescimento do campo ocorreu com Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

No final do século XVII, o cálculo foi desenvolvido de forma independente e quase simultaneamente por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Este foi o início de um novo campo da matemática agora chamado de análise. Embora não seja em si um ramo da geometria, é aplicável à geometria, e resolveu duas famílias de problemas que tinham sido por muito tempo quase intratáveis: encontrar retas tangentes a curvas estranhas, e encontrar áreas fechadas por essas curvas. Os métodos de cálculo reduziram esses problemas principalmente à questões diretas de computação.

Os séculos XVIII e XIX

O problema muito antigo de demonstrar o quinto postulado de Euclides, o "Postulado das Paralelas", a partir de seus primeiros quatro postulados nunca havia sido esquecido. Inicialmente, não muito tempo depois de Euclides, muitos tentaram apresentar demonstrações, mas todas foram mais tarde demonstradas serem falhas, através de demonstrar-se que apresentavam no raciocínio algum princípio que não tinha sido demonstrado a partir dos quatro primeiros postulados. Embora Omar Khayyam também não tivesse êxito em demonstrar o postulado das paralelas, suas críticas de teorias de Euclides de paralelas e sua prova de propriedades de figuras em geometrias não-euclidianas contribuiu para o eventual desenvolvimento de geometria não-euclidiana.

Em torno de 1700 uma grande quantidade de demonstrações tinham sido descobertas sobre o que pode ser provado a partir do quatro primeiros, e os fracassos estavam na tentativa de provar o quinto. Saccheri, Lambert, e Legendre, cada um fez um excelente trabalho sobre o problema no século XVIII, mas ainda ficaram aquém do sucesso. No início do século XIX, Gauss, Johann Bolyai e Lobatchewsky, cada um, independentemente, empreendeu uma abordagem diferente. Começou-se a suspeitar que era impossível provar o postulado das paralelas, o que permitiu começar o desenvolvimento de uma geometria auto-consistente em que esse postulado era falso. Nisso eles foram bem sucedidos, criando assim a primeira geometria não-euclidiana. Em 1854, Bernhard Riemann, um estudante de Gauss, tinha aplicado os métodos de cálculo em um estudo inovador da geometria intrínseca (autônomo) de todas as superfícies “suaves” (deriváveis), e, assim, encontrou uma geometria não-euclidiana diferente. Esta obra de Riemann mais tarde tornou-se fundamental para a teoria da relatividade de Einstein.

"Newton", de William Blake é uma demonstração da sua oposição à “visão única” do materialismo científico; aqui, Isaac Newton é mostrado como “geômetra divino” (1795).

Manteve-se por ser demonstrado matematicamente que a geometria não-euclidiana era tão auto-consistente quanto a geometria euclidiana, e isso foi realizado pela primeira vez por Beltrami, em 1868. Com isso, a geometria não-euclidiana foi estabelecida em pé de igualdade com matemática geometria euclidiana.

Enquanto era sabido que diferentes teorias geométricas eram matematicamente possíveis, a questão permaneceu, "Qual dessas teorias é correta para o nosso espaço físico?" O trabalho matemático revelou que esta questão deve ser respondida pela experimentação física, não pelo raciocínio matemático, e descobriu-se a razão pela qual a experimentação deve envolver distâncias imensas (interestelares, não da escala terrestre). Com o desenvolvimento da teoria da relatividade na física, esta pergunta tornou-se muito mais complexa.

Introdução do rigor matemático

Todo o trabalho relacionado com o postulado das paralelas revelou que era muito difícil para um geômetra separar seu raciocínio lógico de sua compreensão intuitiva de espaço físico, e, além disso, revelou a importância crítica de fazê-lo. Um exame cuidadoso tinha descoberto algumas inadequações lógicos no raciocínio de Euclides, e alguns princípios geométricos não declarados aos quais Euclides, por vezes, apelou (petições de princípio). Essa crítica é paralela à crise que ocorreu no cálculo e análise sobre o significado de processos infinitos como a convergência e continuidade. Na geometria, houve uma clara necessidade de um novo conjunto de axiomas, que seria completo, e que de forma alguma se baseou em cenários que captamos ou desenhamos ou em nossa intuição do espaço. Tais axiomas, agora conhecidos como axiomas de Hilbert, foram dados por David Hilbert em 1894 em sua dissertação Grundlagen der Geometrie (Fundações de Geometria). Alguns outros conjuntos completos de axiomas haviam sido dados alguns anos antes, mas não se encontraram a economia, elegância de Hilbert em semelhança com os axiomas de Euclides.

Análise situs, ou topologia

Em meados do século XVIII, tornou-se evidente que certas progressões de raciocínio matemático eram recorrentes quando idéias semelhantes eram estudadas na reta dos números, em duas dimensões e em três dimensões. Assim, o conceito geral de um espaço métrico foi criado de modo a que a razão pudesse ser feita mais genericamente, e, em seguida, aplicada a casos especiais. Este método de estudar cálculo - e conceitos relacionados com análise - veio a ser conhecido como análise situs, e mais tarde como topologia. Os tópicos importantes neste domínio foram propriedades das figuras mais gerais, como conexão e limites, em vez de propriedades como  imóveis como retilinearidade, e da igualdade precisa de medições de comprimento e ângulo, que tinha sido o foco da geometria euclidiana e não-euclidiana. A topologia logo se tornou um campo separado de grande importância, ao invés de um sub-campo da geometria ou análise.

O século XX

Os desenvolvimentos na geometria algébrica incluiram o estudo de curvas e superfícies sobre corpos finitos, como demonstrado pelas obras de, entre outros, André Weil, Alexander Grothendieck, e Jean-Pierre Serre, bem como sobre os números reais ou complexos. A própria geometria finita, o estudo de espaços com apenas um número finito de pontos, encontrou aplicações na teoria da codificação e criptografia. Com o advento do computador, as novas disciplinas, tais como geometria computacional ou geometria digital com algoritmos geométricos, representações discretas de dados geométricos, e assim por diante.

Notas e referências

1. Noward Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders: 1990 (ISBN 0-03-029558-0), p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...." (“Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, tem sido mais amplamente usado…”)
2. Ray C. Jurgensen, Alfred J. Donnelly, and Mary P. Dolciani. Editorial Advisors Andrew M. Gleason, Albert E. Meder, Jr. Modern School Mathematics: Geometry(Student's Edition). Houghton Mifflin Company, Boston, 1972, p. 52. ISBN 0-395-13102-2. Teachers Edition ISBN 0-395-13103-0.
3. Eves, Chapter 2.
4. Cherowitzo, Bill. "What precisely was written over the door of Plato's Academy?" (PDF). www.math.ucdenver.edu
5. A. Seidenberg, 1978. The origin of mathematics. Archive for the history of Exact Sciences, vol 18.
6. (Staal 1999)
7. (Hayashi 2003, p. 118)
8. (Hayashi 2005, p. 363)
9. Trios Pitagóricos são trios de inteiros com a propriedade: . Então, , , etc.
10. (Cooke 2005, 198 p.): "O teor aritmético do Śulva Sūtras consiste de regras para a busca de trios Pitagóricos, tais como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), e (12, 35, 37). não é certo qual utilização prática dessas regras aritméticas. A melhor conjetura é que eles eram parte de um ritual religioso. A casa Hindu foi obrigado a ter três queima de fogos em três altares diferentes. Os três altares eram para ser de formas diferentes, mas todos os três eram para ter a mesma área. Estas condições davam origem a alguns problemas de "diofantinas", caso particular das quais é a geração de  trios Pitagóricos, de modo a fazer um número inteiro fosse igual à soma do quadrado dos dois outros."
11. (Cooke 2005, pp 199-200.): "A exigência de três altares de áreas iguais, mas diferentes formas explicaria o interesse na transformação de áreas entre outras transformação de problemas da área os Hindus consideravam, em particular, o problema da quadratura do círculo. O Bodhayana Sutra afirma o problema inverso de construção de um círculo igual a um determinado quadrado. A seguinte construção aproximada é dada como a solução .... esse resultado é apenas aproximado. Os autores, no entanto, não fazem distinção entre os dois resultados. Em termos que podemos apreciar, esta construção dá um valor para π de 18 (3 - 2√2)., que é de cerca de 3,088."
12. (Joseph 2000, p. 229)
13. Mathematics Department, University of British Columbia,The Babylonian tabled Plimpton 322
14. Três inteiros positivos formam um trio Pitagórico primitivo se e o mais alto fator comum de é 1. No exemplo particular de Plimpton322 , isto significa que e que os três números não têm quaisquer fatores comuns. No entanto, alguns estudiosos têm contestado a interpretação Pitagoriana deste tábua; ver Plimpton 322 para detalhes.
15. (Dani 2003)
16. (Hayashi 2005, p. 371)
17. (Hayashi 2003, pp. 121–122)
18. (Stillwell 2004, p. 77)
19. Needham, Volume 3, 91.
20. Needham, Volume 3, 92.
21. Needham, Volume 3, 92-93.
22. Needham, Volume 3, 93.
23. Needham, Volume 3, 93-94.
24. Needham, Volume 3, 94.
25. Needham, Volume 3, 99.
26. Needham, Volume 3, 101.
27. Needham, Volume 3, 22.
28. Needham, Volume 3, 21.
29. Needham, Volume 3, 100.
30. Needham, Volume 3, 98–99.
31. Needham, Volume 3, 98.
32. Sayili, Aydin (1960). "Thabit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem". Isis 51 (1): 35–37.doi:10.1086/348837.
33. Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt (2007), "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture" (PDF), Science 315 (5815): 1106–1110, Bibcode:2007Sci...315.1106L, doi:10.1126/science.1135491, PMID 17322056.
34. Imagens suplementares - physics.princeton.edu

Referências

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