domingo, 16 de agosto de 2015

Matemática indiana - 5


Quinta parte da tradução de en.wikipedia.org - Indian mathematics


Matemática de Kerala (1300–1600 d.C.)


A escola Kerala de astronomia e matemática foi fundada por Madhava de Sangamagrama em Kerala, sul da Índia e incluiu entre os seus membros: Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri e Achyuta Panikkar. Ela floresceu entre os séculos XIV e XVI as descobertas originais da escola parecem ter terminado com Narayana Bhattathiri (1559-1632). Na tentativa de resolver os problemas astronômicos, os astrônomos da escola de Kerala criaram independentemente um significativo número de conceitos matemáticos importantes. O resultado mais importante, a expansão da série para funções trigonométricas, foi dada em versículos em sânscrito em um livro de Neelakanta chamado Tantrasangrahaand , um comentário sobre esta obra chamado Tantrasangraha-vakhya de autoria desconhecida. Os teoremas foram afirmados sem demonstrações, mas as demonstrações para as séries de seno, cosseno e tangente inversa foram fornecidas um século mais tarde no trabalho Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrito em Malayalam, por Jyesthadeva, e também em um comentário sobre Tantrasangraha.[73]     
Manuscritos em folhas de palmeira de Kerala. - culturemath.ens.fr


A descoberta dessas três expansões em séries importantes para o cálculo — vários séculos antes do cálculo ser desenvolvido na Europa por Isaac Newton e Gottfried Leibniz —  foi uma conquista. No entanto, a Escola de Kerala não inventou o cálculo, [74] porque, enquanto eles foram capazes de desenvolver expansões de séries de Taylor para importantes funções trigonométricas, a diferenciação, a integração termo por termo, os testes de convergência, osmétodos iterativos para soluções de equações não-lineares, e a teoria de que a área sob a curva é a sua integral, eles não desenvolveram nem uma teoria de diferenciação ou integração, nem o teorema fundamental do cálculo.[75]   

Os resultados obtidos pela escola Kerala incluem.:
:
  • As séries geométricas (infinitas): \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4+ \cdots\text{ for }|x|<1 [76] Esta fórmula já era conhecida, por exemplo, no trabalho do matemático árabe do século X Alhazen (a forma latinizada do nome Ibn Al-Haytham (965-1039)).[77]  
  • Uma demonstração semi-rigorosa (ver "indução", observação abaixo) do resultado: 1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1} para grande valor de n. Esse resultado também era conhecido por Alhazen.[73]  
  • Uso intuitivo de indução matemática, no entanto, a hipótese indutiva não foi formulada ou utilizada em demonstrações.[73]    
  • Aplicações de idéias do (o que viria a se tornar) cálculo diferencial e integral para obter séries infinitas (Taylor–Maclaurin) para \sin x, \cos x, e \arctan x [74]    O Tantrasangraha-vakhya apresenta a série em versos, os quais quando traduzidos para a notação matemática, podem ser escritos como:[73]   
CodeCogsEqn.gif
Nota do tradutor:

Para Latex: [ r\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,\text{ onde }y/x \leq 1.  ]
\sin x = x - x \frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdots
r - \cos x = r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots ,
onde, para r = 1, a série reduz-se à série de potências padrão para essas funções trigonométricas, por exemplo:
    • \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
e
    • \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
  • Uso da retificação (cálculo do comprimento) do arco de um círculo para dar a demonstração desses resultados. (O método posterior de Leibniz, usando quadratura (i.e. cálculo da área sob o arco do círculo, não foi usada.)[73]
  • Uso da expansão de séries de \arctan x para obter uma expressão de séries infinitas (posteriormente conhecida como séries de Gregory) para \pi:[73]  
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots
  • Uma  aproximação racional de erro para a soma infinita se suas séries de interesse. Por exemplo, o erro, f_i(n+1), (para n ímpar, e i = 1, 2, 3) para as séries:
\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots + (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)
CodeCogsEqn (1).gif
Nota do tradutor:

Para Latex: [ \text{onde }f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}. ]
  • Manipulação do termo de erro para derivar uma série de convergência mais rápida para \pi:[73]  
\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots
  • Uso da série melhorado para derivar uma expressão racional,[73]  104348/33215 para π correto até nove casas decimais,i.e. 3.141592653.
  • Uso de uma noção intuitiva de limite para calcular esses resultados.[73]  
  • Um método semi-rigoroso (ver observação sobre limites acima) de diferenciação de algumas funções trigonométricas.[75]  Entretanto, eles não formularam uma noção de uma funcão, ou tinham conhecimento das funções exponenciais ou logarítmicas.
As obras da escola de Kerala foram escritos pela primeira vez para o mundo ocidental pelo inglês C.M. Whish em 1835. De acordo com Whish, os matemáticos de Kerala tinham "lançado as bases para um sistema completo de fluxões" e estas obras abundavam "com formas fluxionais e séries a não serem encontradas em qualquer obra de países estrangeiros."[78]

No entanto, os resultados da Whish foram quase completamente negligenciados, até mais de um século mais tarde, quando as descobertas da escola de Kerala foram investigadas novamente por C. Rajagopal e seus associados. Seu trabalho inclui comentários sobre as provas da série arctan em Yuktibhāṣā dada em dois artigos,[79][80] um comentário sobre a prova do Yuktibhāṣā da série seno e cosseno [81] e dois artigos que fornecem os versos em sânscrito do Tantrasangrahavakhya para a série de arco tangente, seno e cosseno (com tradução para Inglês e comentários).[82][83]   
Os matemáticos de Kerala, incluindo Narayana Pandit [duvidoso - em discussão] (c. 1340-1400.), que compôs duas obras, um tratado de aritmética, Ganita Kaumudi, e um tratado de álgebra, Bijganita Vatamsa. Narayana também é considerado como sendo o autor de um elaborado comentário de Bhaskara II de Lilavati, intitulado Karmapradipika (ou Karma-Paddhati). Madhava de Sangamagrama (c. 1340-1425) foi o fundador da Escola de Kerala. Embora seja possível que ele tenha escrito o trabalho Karana Paddhatia
em algum momento entre 1375 e 1475, tudo o que sabemos realmente de seu trabalho vem de trabalhos de estudiosos posteriores.  
Parameshvara (c. 1370-1460) escreveu comentários sobre as obras de Bhaskara I, Aryabhata and Bhaskara II. Sua Lilavati Bhasya, um comentário sobre Bhaskara II de Lilavati, contém uma das suas importantes descobertas: uma versão do teorema do valor médio. Nilakantha Somayaji (1444-1544) compôs o Tantra Samgraha (que "gerou" um comentário anônimo depois, Tantrasangraha-vyakhya e mais um comentário de nome Yuktidipaika, escrito em 1501). Ele elaborou e estendeu as contribuições de Madhava.
Citrabhanu (c. 1530) foi um matemático de Kerala, do século XVI, que deu soluções inteiras para 21 tipos de sistemas de duas equações algébricas simultâneas em duas incógnitas. Estes são os tipos de todos os possíveis pares de equações das sete formas seguintes:
\begin{align} & x + y = a,\ x - y = b,\ xy = c, x^2 + y^2 = d, \\[8pt] & x^2 - y^2 = e,\ x^3 + y^3 = f,\ x^3 - y^3 = g \end{align}

Para cada caso, Citrabhanu deu uma explicação e justificação de sua regra, bem como um exemplo. Algumas de suas explicações são algébricas, enquanto outras são geométricas. Jyesthadeva (c. 1500-1575) foi outro membro da Escola Kerala. Sua obra fundamental foi a Yukti-Bhasa (escrito em Malayalam, uma língua regional de Kerala). Jyesthadeva apresentou provas da maioria dos teoremas matemáticos e séries infinitas anteriormente descobertos por Madhava e outros matemáticos da Escola Kerala.



Notas, Obras Fonte em Sânscrito e Referências ainda em tradução podem ser encontradas provisoriamente em: Google Drive - Matematica indiana - 7 e Matematica indiana - 8



Leituras recomendadas

Dennis Francis Almeida and George Gheverghese Joseph; Kerala Mathematics and Its Possible Transmission to Europe; www.muslimheritage.com
Agathe Keller; Textes écrits, textes dits dans la tradition mathématique de l’Inde médiévale; culturemath.ens.fr

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