Matematiquices - 16

Demonstrando a derivada

Antes dos limites rigorosos dominarem os livros didáticos, os pioneiros do Cálculo enxergavam o mundo através de pequenos incrementos: os infinitesimais.

Quando aplicamos essa visão à função quadrática f(x)=ax2+bx+c, a álgebra nos dá um assento na primeira fileira para assistir à taxa de variação se moldando. É um exercício simples, mas revelador: vemos o quadrado perfeito se expandir, os termos se cancelarem e o termo (dx)2 se tornar tão insignificante que desaparece diante dos nossos olhos.



Os métodos que usavam são as bases da demonstração que até hoje é repetidamente ensinada nas salas de aula de cálculo. A estrutura padrão dessa demonstração costuma seguir exatamente este passo a passo:

1. A Ideia dos Incrementos

Partimos de y=f(x)=ax2+bx+c.

Se damos um pequeno acréscimo dx na variável x, a função responde com um pequeno acréscimo dy na variável y:

y+dy=f(x+dx)

 



2. A Expansão Algébrica

Substituindo (x+dx) na função original:

y+dy=a(x+dx)2+b(x+dx)+c

Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando as distribuições:

y+dy=a(x2+2xdx+(dx)2)+bx+bdx+c

y+dy=ax2+2axdx+a(dx)2+bx+bdx+c

3. Isolando a Variação (dy)

Como sabemos que y=ax2+bx+c, subtraímos y de ambos os lados da igualdade para isolar dy:

dy=(ax2+2axdx+a(dx)2+bx+bdx+c)-(ax2+bx+c)

Cancelando os termos idênticos:

dy=2axdx+a(dx)2+bdx

4. A Taxa de Variação Instantânea (dydx)

Dividimos toda a equação pelo acréscimo dx:

dydx=2axdx+a(dx)2+bdxdx

Fatorando dx no numerador:

dydx=2ax+adx+b

5. A Passagem ao Infinitesimal

Neste ponto da aula, o professor faz a famosa provocação: "O que acontece quando esse acréscimo dx fica tão infinitamente pequeno que se aproxima de zero?"

O termo adx se torna desprezível (ou vai a zero), restando apenas:

dydx=2ax+b

Essa abordagem é visualmente didática porque faz o termo a(dx)2 se destacar no meio do caminho — mostrando de forma muito concreta de onde vem a famigerada "regra do tombo" (x22x) e por que a constante c desaparece.