O último algarismo

_
Recentemente, num "off" em comunidade de Astronomia no ORKUT (uma das poucas que ainda se mostra interessante do meu atual ponto de vista e para o atual estado daquela rede social) apareceu uma questão de matemática de livro de secundário que me pareceu interessante, e por um raro acaso, relacionava-se com a Teoria dos Números.

A "espiral dos primos", relacionado a um dos maiores mistérios da matemática.

Qual o último algarismo do resultado de 1999 elevado à potência 1998? (O que no linguajar "látex" é escrito como 1999^1998.)

Desenvolvamos:

1999^1998=1999^(2*999)=(1999^2)^999=3996001^999

Agora, quando passamos rapidamente do "calculadorismo", e os números se tonam muito extensos, a não ser para programas específicos (e mesmo estes sempre terão limites, basta citar os simples irracionais, sem limites de casas decimais já por definição), temos de fazer o próximo passo por um meio mais gráfico

    3996001
 x 3996001
_________
    3996001
  0000000
 0000000
A........6
B.......9
C.....9
D...3
__________
E........001

Onde A, B, C, D e E são apenas representações até inadequadas para um conjunto de algarismos à esquerda de determinada posição.

Notemos que nesta multiplicação, os algarismos finais 001 permaneceram (e na verdade, poderia  bastar apenas este último algarismo 1), e se perpetuariam pela mesma "construção" das próximas multiplicações (até "chegar-se" à potência 999).

Como desde o início desejávamos demonstrar, o último algarismo é 1.


Teorema é o ídolo frente ao qual o matemático se flagela. - Citado por Simon Sigh

Poderíamos generalizar esta solução para potências pares (note o destaque do expoente 2 acima) de números terminados em 9, pois 9^2=81. Assim, todo o número da forma [(n*10)-1] terá como potências pares sempre números terminados no algarismo 1, como, p.ex., 23879^2=570206641.

Poderia alongar e generalizar ainda mais, mostrando que números das formas:

[(n*10)-1]^(2*m) ; ex.: o acima
[(n*10)+9]^(2*m) ; ex.: o acima
[(n*10)-3]^(4*m) ; ex.: [(52*10)-3]^(4*3)= 517^12
[(n*10)+3]^(4*m) ; ex.: [(64*10)+3]^(4*7) = 643^28
[(n*10)-7]^(4*m) ; ex.:  [(1425*10)-7]^(4*247)
[(n*10)+7]^(4*m) ; ex.: [(845*10)+7]^(4*845)

Sempre apresentarão como último algarismo 1.

Ou, numa forma mais "algébrica":

Onde se n é um número inteiro qualquer (inclusive negativo); m, se for igual a -1 ou 9, i sendo igual a 1; sendo m igual a 3 ou -3, ou -7 ou 7; i sendo igual a 2 e j é um número inteiro positivo qualquer, x sempre terá como último algarismo 1.

Em caso de dúvida quase aritmofóbica, 1999^1998 dá aproximadamente

Ou, para os mais graves casos de C.O.T., que é o mesmo que T.O.C., mas com as letras em ordem alfabética, COMO AS COISAS DEVEM SER! :

Um poderoso senhor de quase 6600 algarismos, que representa uma quantidade maior que todas as coisas contáveis do universo "conhecido". Muitas vezes maior em escala que o Googol.

Embora possa parecer a primeira vista um número absurdo, longe de qualquer coisa física, não esqueça que não o é no terreno da combinatória, que possui aplicações na genética e na química orgânica. É por exemplo, menor que o fatorial de 2300, que banalmente pode aparecer em macromoléculas. Aliás, parte da enorme palhaçada, inclusive sem grandes números que é a "falácia da lei de Borel".

Querendo mais diversão: www.wolframalpha.com

Mas...


Sobre demonstrações em teoria dos números

O belo da Teoria dos Números é que não necessita-se fazer "o cálculo".

Pode-se fazer até "experimentos", e perceber constâncias, e até, em cima destas, construir teoremas e demonstrá-los.

Usa-se "descensos" (decréscimos) por exemplo, que são demonstrações por "indução ao absurdo", específicas do ramo, como a que já tinha feito Euclides para demonstrar que a raiz quadrada de 2 é irracional (e pode ser expandida para todos os primos).

Para certas questões, pode-se após determinadas observações, fazer conjecturas, e dependendo da sua profundidade e até mesmo dificuldade em ser demonstrada, podem levar séculos até que seja demonstrada.

Vide o último teorema de Fermat (U.T.F.), que por sinal, agora deve ser chamado de teorema de Wiles.

Pierre de Fermat (1601 - 1665), o "príncipe dos amadores" (recomendo www.educ.fc.ul.pt)

Um belo exemplo é a Conjectura de Goldbach.

www.petrospec-technologies.com

Simples, traiçoeiramente aparenta ser banal, mas terrível do ponto de vista teórico de ser demonstrada.

O interessante é que não se pode ainda demonstrar que exista demonstração em Teorema dos Números apenas Euclidiana-Pitagórica. (ver Friedman's grand conjecture)

A demonstração de Hipaso de Metaponto, dos irracionais, que provavelmente levou a sua execução (!) era obviamente Euclidiana-Pitagórica. Os pitagóricos tiveram suas glórias, mas também seus pecados.

A demonstração de Wiles, "moderna".

Wiles, agora, com "glória eterna", após anos flagelando-se frente a um dos ídolos dos matemáticos, que  são os teoremas (ver library.thinkquest.org)

Mas querendo discordar dela, divirta-se também, será mais um na internet a literalmente trollar pelo tema (até que apareça, talvez, um verdadeiro gênio, ou muito felizardo), com uma demonstração pitagórica-euclidiana, e que obviamente, não caia na piada abaixo representada:

Como sou amigo, sincero e bem intencionado com os menos aptos com números, recomendo www.blog.republicofmath.com.


Apêndice

I

Noutra blogagem (Números) , esqueci um interesantíssmo resultado de determinado número "mágico":

111111111^2=12345678987654321, quase um "abracadabra" (e aliás, mais simétrico que esta palavra, entre os resultados oriundos do primo 37.

II

De Dan Scientia:

1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1000
1428 x 7 + 4 = 10000
14285 x 7 + 5 = 100000
142857 x 7 + 1 = 1000000
1428571 x 7 + 3 = 10000000
14285714 x 7 + 2 = 100000000
142857142 x 7 + 6 = 1000000000
1428571428 x 7 + 4 = 10000000000
14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000
...


1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321


1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111


9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888


1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
1111111111 x 1111111111 = 1234567900987654321
11111111111 x 11111111111 = 123456790120987654321
...


11 x 11 = 121
112211 x 11 = 1234321
1122332211 x 11 = 12345654321
11223344332211 x 11 =  123456787654321
112233445544332211 x 11  = 1234567900987654321
...


11 x 11 = 121
121 x 11 = 1331
12321 x 11 = 135531
1234321 x 11 = 13577531
123454321 x 11 = 1357997531


111 x 11 = 1221
121 x 11 = 1331
131 x 11 = 1441
141 x 11 = 1551
151 x 11 = 1661
161 x 11 = 1771
171 x 11 = 1881
181 x 11 = 1991


4 x 4 = 16
34 x 34 = 1156
334 x 334 = 111556
3334 x 3334 = 11115556
33334 x 33334 = 1111155556
333334 x 333334 = 111111555556
...


7 x 7 = 49
67 x 67 = 4489
667 x 667 = 444889
6667 x 6667 = 44448889
66667 x 66667 = 4444488889
666667 x 666667 = 444444888889
6666667 x 6666667 = 44444448888889
...


9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
9999999 x 9999999 = 99999980000001
...


7 x 9 = 63
77 x 99 = 7623
777 x 999 = 776223
7777 x 9999 = 77762223
77777 x 99999 = 7777622223
777777 x 999999 = 777776222223
...


3 x 37 = 111
33 x 3367 = 111111
333 x 333667 = 111111111
3333 x 33336667 = 111111111111
33333 x 3333366667 = 111111111111111
333333 x 333333666667 = 111111111111111111
3333333 x 33333336666667 = 111111111111111111111
33333333 x 3333333366666667 = 111111111111111111111111
333333333 x 333333333666666667 = 111111111111111111111111111
3333333333 x 33333333336666666667 = 111111111111111111111111111111
...


7 x 15873 = 111111
14 x 15873 = 222222
21 x 15873 = 333333
28 x 15873 = 444444
35 x 15873 = 555555
42 x 15873 = 666666
49 x 15873 = 777777
56 x 15873 = 888888
63 x 15873 = 999999


3 x 37 = 111 e 1 + 1 + 1 = 3
6 x 37 = 222 e 2 + 2 + 2 = 6
9 x 37 = 333 e 3 + 3 + 3 = 9
12 x 37 = 444 e 4 + 4 + 4 = 12
15 x 37 = 555 e 5 + 5 + 5 = 15
18 x 37 = 666 e 6 + 6 + 6 = 18
21 x 37 = 777 e 7 + 7 + 7 = 21
24 x 37 = 888 e 8 + 8 + 8 = 24
27 x 37 = 999 e 9 + 9 + 9 = 27

E não podemos esquecer a regra que aprendemos no primário para decorar a "tabuada do 9":

1 x 9 = 09 e 0 + 9 = 9
2 x 9 = 18 e 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27 e 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36 e 3 + 6 = 9
5 x 9 = 45 e 4 + 5 = 9
6 x 9 = 54 e 5 + 4 = 9
7 x 9 = 63 e 6 + 3 = 9
8 x 9 = 72 e 7 + 2 = 9
10 x 9 = 90 e 9 + 0 = 9

Em algum lugar agora e por talvez muito tempo no futuro, sempre haverá um humano ou seus descendentes  flagelando-se frente uma conjectura. 

III

Para o excelente documentário Horizons sobre o Último Teorema de Fermat (que deve, mais corretamente, até prova em contrário, ser chamado de Conjetura de Fermat

Fermat's Last Theorem 1/4 (BBC Horizon 1996)

http://www.youtube.com/watch?v=sewgNw_K8Yw

Fermat's Last Theorem 2/4 (BBC Horizon 1996)

http://www.youtube.com/watch?v=ofhaESrda_0&NR=1

Fermat's Last Theorem 3/4 (BBC Horizon 1996)
http://www.youtube.com/watch?v=JtEdkhUDptQ

Fermat's Last Theorem 4/4 (BBC Horizon 1996)

http://www.youtube.com/watch?v=_iE5KwaM4Ro

É emocionante o momento em que Wiles ainda chora quando conta o momento decisivo que lhe levou à demonstração, quando percebe que determinada técnica que havia abandonado em determinado ponto de seu trabalho, o levava à solução de determinado impasse que enfrentava em outro ponto.

Este momento é tratado em mais detalhes aqui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_Last_Theorem#Wiles.27_general_proof



IV

Poderíamos demonstrar o "erro" dos Simpsons pela mesma demosntração que Fermat mesmo já tinha nos deixado, para o caso de n=4, ou ainda, pela demonstração de Euler, muito mais complexa, para o caso de n=3, (um dos meus pequenos "sonhos matemáticos" é apresentá-la para consulta em português), fazendo, banalmente:

[1782^(3*4)]+[(1841^(3*4)]=1922^(3*4)

Mas podemos apresentá-lo numericamente em http://www.wolframalpha.com/ com

((1782^12)+(1841^12))^(1/12)

É citado o "caso" 3987^12+4365^12=4472^12 em

http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html

Experimente.


V

Para mais sobre a Conjectura de Goldbach - http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html


VI

Para um editor LaTex online: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php


VII

Um exemplo destacado de tentativa pitagórica de demonstrar o U.T.F. é o de Andrew H. Warren, que pode ser visto aqui: http://files.asme.org/MEMagazine/Articles/Web/15299.pdf

Uma discussão sobre seu infeliz trabalho, é visto aqui: http://mathoverflow.net/questions/31565/request-for-comments-about-a-claimed-simple-proof-of-flt

Talvez, e digo e repito talvez, Fermat tenha cometido um erro similar, e julgado possuir sua demonstração "miraculosa".


VIII

Trabalho "poderoso", e que marcou época, foi a demonstração por vias da geometria algébrica como abordagem para o U.T.F. por Gerd Faltings. Ele demonstrou que se existiam soluções, elas eram finitas, e não infinitas (n=2, por exemplo, possui infinitas soluções). Nunca algum matemático tinha obtido demonstração tão genérica, ainda que não resolvesse o problema, mas estabelecia uma solução que pulava por cima ou de casos específicos (determinado n) ou pelo inútil teste de números ("força bruta" numérica), que é utilíssima em Engenharia e Física, mas na verdade, inútil em Matemática.

Onde Gerd Faltings flagelou-se e ganhou notoriedade e reconhecimento, pesquisadores numéricos só constroem temporários castelos de areia. - Faltings' theorem

Publicação da conquista de Faltings na revista Veja, em 3 de agosto de 1983, por ironia, meu aniversário de 18 anos.

IX


Por não necessitar-se de cálculos na Teoria dos Números, é que agora, depois da demonstração que fiz, e com a equação que representa o insignificante teorema que desenvolvi, que posso afirmar com absoluta segurança que, por exemplo 1999^[(1999^1998)*2], um número imensamente maior que 1999^1998, termina no algarismo 1.


V_
_