Matematiquices - 2

 

1 - Uma curiosidade e “números táxi”

(6048+1729)^2=60481729 

Note-se que 1729 é um “número táxi” (abrasileirando), “número taxicab” ou ainda número de Hardy–Ramanujan. 

pt.wikipedia.org - Número taxicab 

“Lembro-me de uma vez ter ido vê-lo [Ramanujan] quando ele estava doente em Putney. Eu havia viajado no táxi nº 1729 e observei que o número parecia bastante enfadonho e que esperava que não fosse um presságio desfavorável. "Não", respondeu ele, "é um número muito interessante; é o menor número expressável como a soma de dois cubos [positivos] de duas maneiras diferentes." - en.wikipedia.org - Taxicab number 

Lembro de ter lido certa vez que Hardy demorou 6 meses para obter a demonstração da afirmação acima, mas não tenho encontrado uma referência confiável desta afirmação.

Apenas por curiosidade, desenvolvendo a soma e o quadrado acima:

6048^2=36578304 (1)

2*(6048*1729)=20913984 (2)

1729^2=2989441 (poderíamos aqui definir como um “número táxi ao quadrado”)

2989441-1729=2987712 (3)

Fazendo (1)+(2)+(3)

36578304+20913984+2987712=60480000, o motivo óbvio para a coincidência acima.

Posteriormente, pretendemos desenvolver, dado o acima, o caso geral:

(A+B)^2=(10000*A)+B, claramente, uma equação diofantina.

Recomendo a leitura:

When Ramanujan did mathemagic with a taxi number - thefederal.com 

Uma interessante relação dos números táxi com o último teorema de Fermat (Teorema de Wiles) pode ser encontrado em:

The Hardy-Ramanujan number 1729 - medium.com 

Observação: na verdade, a demonstração para n=3 da conjectura de fermat já poderia ser encontrada demonstrada por Euler, e devo até hoje uma versão digital de tal demonstração, que possuo na minha biblioteca. (Ver en.wikipedia.org - Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents )

Facts on 1729 - www.sankalpindia.net 

Mais sobre Srinivasa Ramanujan e “números interessantes” em - Wiki en https://francisco-scientiaestpotentia.blogspot.com/2010/01/rabiscos.html 

Ao que somo:

O paradoxo dos números interessantes, que faz uso de algumas propriedades matemáticas, mas pode ser mais apropriadamente classificado como humorístico, busca mostrar que todos os números naturais (1,2,3 ...... etc) são "interessantes" .

Demonstração

Para a prova, deve-se assumir que existem números que não são interessantes. Então, pode-se fazer uma partição dos números naturais em dois subconjuntos, por um lado os números interessantes e por outro lado os números não interessantes, enfadonhos. Agora, como em cada subconjunto de números naturais há sempre um menor do que todos os outros, o subconjunto dos números enfadonhos tem um número que é o menor deste grupo. Mas, por causa dessa propriedade, esse número se torna um número interessante: é de fato o menor dos números enfadonhos. Isso obriga a retirá-lo deste grupo e colocá-lo no dos mais interessantes. Mas agora um novo número entre os chatos será o menor e pelo mesmo motivo deve ser transferido para o subconjunto dos interessantes e assim por diante, até que reste apenas um número desinteressante. [Nota sorites] Mas este último número tem a propriedade mais interessante de ser o único número desinteressante e também terá que ser transferido para o grupo de números interessantes e, com isso, o grupo de números desinteressantes torna-se um conjunto vazio. A suposição inicial leva a uma contradição ou aporia, o que mostra que a suposição era falsa. Então deve-se concluir que não há números que não sejam interessantes.

Personagem paradoxal

A "prova" precedente, que tem a aparência formal de uma reductio ad absurdum (redução ao absurdo), não pode realmente ser qualificada como tal, uma vez que usa a propriedade ambígua "ser interessante" para esse fim. Na verdade, tal qualificador não tem uma entidade matemática suficientemente precisa e objetiva para ser usado como critério para "particionar" um conjunto, ao contrário do que poderia ser feito usando, por exemplo, a propriedade "ser um número par", com o que pode ser clara e indistintamente estabelecida uma partição em pares e não pares (ímpar), ou como com a propriedade "ser um número primo". Na verdade, isso também pode ser expresso dizendo que a relação de pertencimento de um elemento a um conjunto deve ser sempre perfeitamente discernível, isto é, que a afirmação "x pertence ao conjunto M" deve ser capaz de ser qualificada como verdadeira e como falsa sem qualquer ambiguidade. — es.wikipedia.org - Paradoja de los números interesantes 

Nota sorites: Uma analogia com o paradoxo sorites ou com o paradoxo do navio de Teseu poderá aqui ser desenvolvida no futuro.

2 - Encontre o ângulo

brilliant.org 

Esta solução será tentada sem trigonometria.

Primeiro, uma simples perseguição de ângulo. Também não é difícil ver que existe um triângulo isósceles.

 

Agora, parece que estamos numa armadilha. Mas se olharmos o suficiente, os ângulos suplementares de 80 °, 100 ° estão parecendo cada vez mais suspeitos.

O primeiro truque: e se "movermos" dois dos triângulos de forma que dois dos lados iguais coincidam?

 

Um quadrilátero cíclico é formado. [Nota QC] 

Em seguida, desenhe outra diagonal e busque todos os ângulos. (Teorema do ângulo inscrito. [Nota TAI])  

 

 

Mas qual é a utilidade deste quadrilátero cíclico? 

O segundo truque é perceber que há um par de triângulos congruentes escondido. 

 

 

Os triângulos roxos são congruentes. 

 

∴ x=40° 

 

Notas 

QC

Na geometria euclidiana, um quadrilátero cíclico ou quadrilátero inscrito é um quadrilátero cujos vértices estão todos em um único círculo. Este círculo é chamado de circunferência ou círculo circunscrito, e os vértices são considerados concíclicos. O centro do círculo e seu raio são chamados de circuncentro e circumradius (circunraio), respectivamente. Outros nomes para esses quadriláteros são quadrilátero concíclico e quadrilátero cordal, este último porque os lados do quadrilátero são cordas do circuncírculo. Normalmente, o quadrilátero é considerado convexo, mas também existem quadriláteros cíclicos cruzados. As fórmulas e propriedades fornecidas abaixo são válidas no caso convexo. — en.wikipedia.org - Cyclic quadrilateral 

pt.wikipedia.org - Quadrilátero cíclico 

Observação: Circunraio é o raio de uma circunferência cujo centro é o ponto onde se encontram as mediatriz dos 3 lados de um triângulo qualquer. Inraio é o raio de uma circunferência inscrita em um triângulo qualquer.

TAI

O teorema do ângulo inscrito afirma que um ângulo θ inscrito em um círculo é a metade do ângulo central 2θ que subtende o mesmo arco no círculo. Portanto, o ângulo não muda quando seu vértice é movido para diferentes posições no círculo. — en.wikipedia.org - Inscribed angle 

pt.wikipedia.org - Ângulo inscrito 

Recomendamos também:

Kleber Kilhian - Teorema do Ângulo Inscrito - www.obaricentrodamente.com 

Nos nossos arquivos: Kleber Kilhian - Teorema do Ângulo Inscrito  

3.Pérolas (uma vasta coleção a se iniciar)

Quando isso foi divulgado numa rede sociais, alguém comentou:

"correto é 0,000000000....1"

Minha resposta:

Ãh… Sendo chato, mas exato… Não.

Mesmo numa notação incorreta ( 0,00...0001) , não seria uma “fração ínfima”, e sim, zero mesmo, que não pode ser expresso, evidentemente, por uma fração por menor que seja.

A questão é que 1/3=0,3333... e 0,9999... é 1, ainda que numa notação que diria, "inútil", dispensável.

O campo da chamada "pseudomatemática" tem trocentas incursões lamentáveis por esses campos, inclusive sendo destacada a questão 1<>0,9999… , que produzem demonstrações didaticamente interessantes.

Sobre “pseudomatemática”, recomendamos:

Cantor novamente e pseudomatemática - Scientia Est Potentia  

Acrescentamos: 

Exemplos

Um tipo comum de abordagem é alegar ter resolvido problemas clássicos que se provaram matematicamente impossíveis. Exemplos comuns disso incluem as seguintes construções na geometria euclidiana — usando apenas bússola e régua:

• Quadratura do círculo: dado qualquer círculo desenhando um quadrado com a mesma área.

• Dobrando o cubo: Dado qualquer cubo desenhando um cubo com o dobro do seu volume.

• Trissecção do ângulo: dado qualquer ângulo, dividindo-o em três ângulos menores, todos do mesmo tamanho. 

Por mais de 2.000 anos, muitas pessoas tentaram e não conseguiram encontrar tais construções; no século XIX, eles foram provados impossíveis.  

Outra abordagem comum é interpretar mal os métodos matemáticos padrão e insistir que o uso ou o conhecimento da matemática superior é de alguma forma trapaça ou enganosa (por exemplo, a negação do argumento diagonal de Cantor e os teoremas da incompletude de Gödel). — en.wikipedia.org - Pseudomathematics