Conjectura de Collatz: Uma brincadeira com números seríssima
"Collatz é como tentar prever o caminho de um bêbado voltando para casa; você sabe que ele vai acabar na cama, mas ninguém consegue provar que ele não vai dar uma volta infinita pelo bairro antes."
Houve um tempo que piadas eram populares…
Há a piada de três bêbados vindo caminhando abraçados, de madrugada, se apoiando pela rua, até que chegam numa porta de uma casa. Uma senhora abre a porta e começa a gritar:
-Chegando bêbado novamente, Antônio?! É isso toda a noite, Antônio! Eu não aguento mais essa loucura, Antônio! Todo dia uma bebedeira, todo dia chegando de madrugada, todo dia tropeçando e me acordando, Antônio!
Um dos bêbados levanta o dedo, pede a palavra e diz à senhora:
-A senhora poderia dizer, por favor, qual de nós três é o Antônio para os outros dois poderem ir para casa?
Essa piada passa pela Lógica, pela Teoria da Mente e Neurociência, pela Fisiologia Humana e até a Epistemologia, tocando também no drama do alcoolismo.
No fim das contas, a matemática nos ensina a encontrar a região de x. Mas, como na velha piada dos três bêbados que chegam à porta de casa e perguntam à senhora quem deles é o Antônio para que os outros dois possam ir embora, nem sempre a lógica nos diz quem nós somos no meio desse rebanho. Às vezes, o maior desafio não é resolver o sistema, é saber qual variável você representa no mundo.
A "brincadeira" é, na verdade, um dos problemas mais infames e viciantes da matemática: a Conjectura de Collatz.
Ela também é conhecida por nomes mais "exóticos" como:
Problema 3n + 1 (a descrição direta da regra);
Sequência de Granizo (ou Hailstone numbers), porque os números sobem e descem como pedras de granizo em uma nuvem antes de finalmente caírem no chão;
Algoritmo de Syracuse;
Problema de Kakutani.
O Enunciado (O "Treino" Infinito)
A regra que a conjectura descreveu é hipnotizante para a mente humana:
Escolha qualquer número inteiro positivo n.
Se n for par: n → n / 2.
Se n for ímpar: n → 3n + 1.
Repita.
A conjectura diz que, não importa com qual número você comece, você eventualmente cairá no ciclo infinito 4 → 2 → 1.
Por que é uma "Matematiquice" de Elite?
O que a torna fascinante (e irritante) é que, apesar de ser tão simples que uma criança de sete anos consegue entender e executar, ninguém no mundo conseguiu provar que ela é sempre verdadeira.
Assim como os bêbados de Collatz, que sobem até 9.232 apenas para cair no 1, o Antônio da piada sabe que o destino final é a cama, mas a perda da identidade (ou da prova matemática) transforma o caminho em um mistério existencial.
Até o grande Paul Erdős (outro que certamente estaria na mesa da taberna com Euler e Gauss) disse uma vez: "A matemática ainda não está pronta para problemas como este."
Para o seu texto, a Conjectura de Collatz é o exemplo perfeito de uma "Matematiquice" Insidiosa:
Começa como um exercício leve de aritmética.
Transforma-se em uma montanha-russa numérica (tente começar com o número 27 e veja o Tico e o Teco suarem por 111 passos antes de chegarem ao 1, atingindo um pico de 9.232 no caminho!).
Termina em um abismo de complexidade que desafia os maiores computadores e mentes do planeta.
Se as ovelhas dos pastores foram um exercício supino, Collatz é aquela maratona que você começa achando que é um trote no parque e termina sem saber o próprio nome.
A “pluma” (melhor em portugues que “pena”) de Collatz e um algoritmo de sua construção. - www.michaelspilsbury.com
Uma explicação da construção desse tipo de gráfico por ser vista em:
en.wikipedia.org - Collatz conjecture
Destaquemos:
"Partindo da raiz da árvore, o caminho vira à esquerda em 8,65° para nós (números) pares e à direita em 16° para nós ímpares. O comprimento de cada aresta (segmento) escala como o inverso do logaritmo de seu nó mais distante da raiz. A cor e a espessura dependem linearmente do logaritmo de quantas vezes aquela aresta foi percorrida."
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